薛娅婷,尹相国,张云波

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

超冷玻色气体和费米气体的混合物在实验和理论上都引起了广泛的研究[1-3]。近年来,各种理论方法被用来研究一维玻色费米混合气体的量子相变,如平均场方法[4]和Tomonaga-Luttinger液体(TLL)理论[5-6]。当玻色子和费米子的质量相同,并且玻色子之间的相互作用强度与玻色费米子间的相互作用强度相等时,一维玻色费米混合气体系统是完全精确可解的[7]。由于冷原子系统的实验进展,该模型重新引起了人们的兴趣[8-9]。

玻色费米混合气体的基态性质备受人们关注[8-9]。然而,对该模型的热力学量和量子临界现象的研究则相对较少。对于处于基态的一维系统,当改变化学势、磁场等参数时,系统可能发生量子相变,例如从纯玻色相转变到玻色费米混合相,再到费米相。最近,高分辨率成像技术可以非常精确地测量势阱中原子气体的密度分布和密度波动[10-13],从而为研究量子相变和量子临界性提供了必要的工具。为了描述体系不同的相,Wiedemann-Franz(WF)定律[14],Kadowaki-Wood比率[15],威尔逊比率[16]等等都是十分有效的。因为这些常数可通过可测量的物理量求得,并且反映了体系的一些本质特征。WF定律是普适的,适用于很多体系和材料。由于复杂和难以计算的体系的能态密度被消掉,WF定律常常被用来刻画新发现的尚未被研究清楚的体系和材料[17]。尤其是近年来,新的实验[18]也显示了WF定律在量子相变中依旧适用。

类似地,Grüneisen参数(Grüneisen Parameter,简称GP)[19]定义为

(1)

可以用来描述体系的量子临界相变点的行为。这里S是熵,V是系统的体积,N,T分别是系统的粒子数和温度。GP是无量纲的物理学常数。最初由Eduard Grüneisen在1908年开创性的文章[20]中研究爱因斯坦模型时提出,虽然在固体地球物理[21]、化学物理[22]和等离子物理[23]等领域对GP进行了较为深入的研究,但其在冷原子系统中的行为,如冷原子、量子液体和量子气体中的行为却很少有人关注。这是由于在气体中以压力和温度为变量的函数进行高精度热膨胀和比热测量都十分困难。最近,实验开始对重费米子系统的GP感兴趣[24],重费米子金属对压力的微小变化极为敏感,这种压力敏感性体现在GP值的高度增强上,低温下的GP冷却时比对数发散更明显,因此可以被视为实验中判断量子临界点的标准[25],从这个意义上说,GP可以作为实验和理论研究上检测和研究量子相变的有效工具。

本文主要在玻色费米混合物系统中,研究讨论了GP在相变点的行为。

1 理论模型

我们考虑粒子间具有δ函数形式接触相互作用的一维玻色费米混合气体组成的长度为L的系统。其哈密顿量的二次量子化形式为

(2)

(3)

其中上式第一项为动能项,xi是第i个粒子的坐标,N是系统粒子总数,第二项为粒子间的相互作用项。c表示粒子间的相互作用强度,且满足c=mg/ћ2。当c为正值时,粒子间相互排斥;当c为负值时,粒子间相互吸引。

在热力学极限下(N→∞,L→∞,且N/L是一个有限的值),对于系统的热力学平衡态来说,系统的熵是最大的,同时系统受到单位长度内粒子数目和能量值的约束,即吉布斯自由能的极值条件决定了系统的平衡态。采用文献[26]的思路,令混合气体吉布斯自由能的变分为零,便得到平衡态的非线性积分方程,即热力学BA(TBA)方程:

a1(k-Λ)ln[1+exp(-φ(Λ)/T)],

a1(Λ-k)ln[1+exp(-ε(k)/T)]

(4)

(5)

其他热力学量,如玻色子和费米子的压缩率κb和κf,磁化率χ等可表示成压强的导数,例如

(6)

χ=∂2p/∂H2

(7)

2 Grüneisen参数

2.1 Grüneisen参数

到目前为止,GP已经在自由系统[19]中得到了很好的理解,但对于存在相互作用的系统,还缺乏系统的研究。本节的主要目的是研究GP在玻色费米混合物系统中的行为性质。

公式(1)中GP的表达式在固定总粒子数N的正则系综中定义的,而TBA方程和压强等物理量是在μ,H和T为自变量的巨正则系综中定义的。因此,通过系综变换可以得到了巨正则系综下的GP表达式[27]

(8)

我们可以通过数值计算得到不同有效磁场强度下的GP。计算思路如下:首先对方程组(4)的两边都除以c2(令ε0=c2),然后利用数值迭代方法可得到TBA方程的解ε(k)/ε0和φ(Λ)/ε0,然后通过公式(5)的数值积分得到压强p,最后通过公式(8)得到GP。为了减小计算的误差,公式(8)中的偏导数没有采用直接差分的办法,而是通过它们满足的积分方程的数值迭代计算得到的。图1给出了GP随有效磁场强度的变化。需要注意图中的温度t=T/ε0。当系统处于基态时,随着有效磁场强度的变大,系统从玻色相变到玻色费米混合相,再到费米相。在远离基态相变点区域,GP几乎保持一个恒定的常数,而在相变点附近,GP剧烈变化,出现了一个非常明显的低谷(极低值)。随着温度的降低,低谷的深度变深。当温度趋向于绝对零度时,GP在相变点发散。通过调节参数H可使Γ经过3个不同相,因此可以作为判断是否发生相变的一个有效的工具。

图1 经过三个不同的相的GP。从图中我们可以看出,GP从纯玻色相到玻色费米混合相和从混合相到纯费米相会发生明显的变化。其中,蓝色竖直虚线为当μ/ε0=2时零温解析得到的相变点。Fig.1 The GP in three different phases.As can be seen from the figure, significant divergence occurs from the bose phase to theBose-Fermi mixture phase and from the mixture phase to the Fermi phase.Here the blue dotted line are the phase transition points obtained analytically from the zero temperature phase diagram when μ/ε0=2.

图2 通过调节磁场强度H得到MGP在三个不同相内的变化情况,这里μ/ε0=2。MGP在纯玻色区域和纯费米区域为零。Fig.2 The variation of MGP in three different phases is obtained by adjusting the magnetic field H,where we keep μ/ε0=2, MGP is exactly zero in the pure Boson region and the pure Fermi region.

2.2 磁化Grüneisen参数

把GP中的体积V用磁场H代替,称为磁化Grüneisen参数(MGP),定义为[28]:

(9)

实际上,MGP在凝聚态物理实验中更为普遍,因为分子与磁熵变化有关,而磁熵变化是可以测量的,在磁性材料的研究中具有重要意义。

类似地,巨正则系综中可以得到用压强导数表示的MGP,即为[27]:

(10)

对比图1,我们讨论MGP在3个相中的情况。图2为随着有效磁场强度的变大,MGP从玻色相到玻色费米混合相,再到费米相的变化。蓝色竖直虚线为零温时当μ/ε0=2时解析得到的从纯玻色相到混合相以及从混合相到纯费米相的相变点。在纯玻色和纯费米区域的极限情况下,可以很容易地得到Γmag=0。从图中可以看出,当温度趋向于绝对零度时,MGP在相变点会发生剧烈变化,不同于GP的是,MGP在两个相变点的峰值为一正一负,且变化都较大。

图3为关于Γmag的玻色费米混合物有限温相图。图中的黑色虚线为解析得到的玻色费米混合物的零温相图[29]。除去真空态,相图包括纯玻色相,纯费米相,和玻色费米混合3个相。对比零温解析得到的相图,我们来分析低温下Γmag在量子临界点的行为。从图3中我们可以看出Γmag能够清晰地标注相区,在每一个相区内Γmag值基本不变,但在相边界附近有峰值出现,从玻色态到混合态的峰值为正,从费米态到混合态的峰值为负,通过调节参数H,μ可以使Γmag取不同的值。

图3 关于Γmag的有限温相图。横坐标是有效磁场强度H/ε0,纵坐标是化学势μ/ε0,通过调节这两个参数可以使系统穿过四个不同的相区。颜色条代表的是Γmag值,黑色虚线表示零温的相边界,这里温度取为t=T/ε0=0.03。Fig.3 Finite temperature phase diagram for Γmag.Abscissa is the effective magnetic field strength H/ε0,longitudinal coordinates are chemical potentials μ/ε0.By adjusting these two parameters,the system can pass through four different phase regions.The color bar represents the Γmag value.The black dash-lines are for the boundary ofdifferent phases, where t=T/ε0=0.03.

3 结论

本文用GP和MGP这两种无量纲参数研究了玻色费米混合物系统中的相变,发现两者在相变点附近都会发生突变,只是突变的行为不一样,GP从玻色子到混合物的相变和从费米子到混合物的相变都为负值,且从玻色到混合物的相变突变行为相对较小,而MGP在两个相变点的变化都较大,且为一正一负,但由于我们参照的是零温相图研究这两个参量在相变点的行为,所以两者对相变点的描述可能和零温相图相比有些偏差。