钟小华 李国青

[摘  要] 2019年高考理科数学全国卷Ⅰ第22题源于教材却高于教材、活于教材，内涵丰富、综合性强、解法多样.教材是高考命题之源、课堂教学之本，在教学中应立足教材，用透教材，不断提高学生的思维能力和解决问题的能力.

[关键词] 数学;分析;探究;反思;教材

试题呈现

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x= ，y= （t为参数）. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ ρsinθ+11=0.

（1）求C和l的直角坐标方程;

（2）求C上的点到l距离的最小值.

试题分析

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，及求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.看似一道常规的基础题，实际上却内涵丰富、综合性强、解法多样，是专家们经过精心思考设计出来的“教材变式题”，源于教材却高于教材、活于教材.

教材題源1：（人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4》第26页习题2.1第4题）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

（3）x=t+ ，y=t- （t为参数）.

教材题源2：（人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》第47页例7）已知椭圆 + =1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

教材题源3：（人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4》第28页例1）在椭圆 + =1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.

本题的难点是第（1）问“把参数方程化为普通方程”.无论用代入消参法，还是用加减消参法，直接消参都非常困难;代入法需要在变……