张昆 郑蕾聪

【摘要】在教学中，教师如何设计指向数学探究发现或理解式的教学过程。研究者以人教A版高中数学“两角差的余弦公式”教学为例，通过分析教材中体现具体数学知识的素材，以及与学生发生这一具体知识的个性心理特点，对教材进行二次开发，提高数学课堂教学的有效性。

【关键词】数学教材;二次开发;教学价值

【作者简介】张昆，高级教师，博士，主要研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、数学史等;郑蕾聪，淮北师范大学在读硕士研究生。

一、引言

“两角差的余弦公式”是人教A版高中数学必修4第三章“三角恒等变换”的一个知识点。从知识内容上看，学生已经掌握了三角函数和平面向量（数量积）的相关知识，为猜想、探索和推导两角差的余弦公式提供了知识上的立足点和生长点;从知识结构上看，三角恒等变换是三角函数与数学变换的结合点和交汇点，“两角差的余弦公式”是学生前面所学的三角函数知识的延续与发展，也是接下来学习两角和、倍角或半角公式，以及其他三角恒等变换、三角恒等关系式证明的基本依据，是培养学生逻辑推理、运算能力和数学思想方法的重要素材。因此，“两角差的余弦公式”的学习对提高学生处理三角恒等变换的变式问题的能力，以及萌生迁移、类比、猜想等数学思想方法有着重要的作用。笔者在听了一些数学教师执教“三角恒等变换”的起始课——“两角差的余弦公式”时发现，他们基本上不加改变地使用教材所提供的教学内容及其提示的教学途径，于是便想到了二次开发教材，寻找更适合学生理解“两角差的余弦公式”的途径。

二、基于二次开发教材的教学设计

两角差的余弦公式是数学原理性知识。在一般情况下，原理性知识的教学需要经过两个步骤：首先，设置初始问题，启发学生探究知识、发现规律、提出猜想;其次，针对得到的猜想进行逻辑推理的演绎。其中数学问题是数学思维的载体，好的初始问题能引起学生共鸣，提高学生的学习兴趣和注意力。

通过分析一些教师关于“两角差的余弦公式”的教学实践，以及对探究发现或理解式的数学学习内容及其教学价值的探究，笔者认为，探究发现或理解式的数学学习是本真意义上的数学学习方式，旨在学习主体在获得探究发现或理解式的数学学习内容的基础上，体验数学学习过程进而基于此激发或增强数学的学习兴趣等。那么，在实际教学中，教师如何设计指向数学探究发现或理解式的教学过程呢？下文以“两角差的余弦公式”的课堂教学为例进行说明。

环节一：提出初始问题

师（复习板书）：cosπ2-β=sinβ①;cos（π-β）=-cosβ②;cos3π2-β=-sinβ③;cos（2π-β）=cosβ④。大家从这四个诱导公式中，可以提出哪些一般性问题呢？

生：对于这四个诱导公式中的π2，π，3π2，2π的变动性进行抽象，可使用一个一般性的角α替换这四个具体数值的角，就能够得到一个一般性的问题，即如何求cos（α-β）的值？[1]

一般地，初始问题的提出具有两种方式：其一，教师向学生提供相关的合适信息，启发学生对这些信息提出初始问题，这是一种比较好的方式，但是在实际教学中，这种途径是很难实现的;其二，当第一种方式难以提出初始问题时，教师可以对某个知识的教学直接地提出初始问题。综上所述，对于两角差的余弦公式，笔者找到了第一种方式提出初始问题的合适信息。

环节二：由初始问题引发的探究活动

师：那么，关于cos（α-β）⑤，可能存在什么样的表达式呢？

生：……

师：大家仔细观察前述的诱导公式①②③④与所要求的公式⑤的表达式，这两者之间是否存在某种具体的联系？

生：我猜想公式⑤的表达式中一定含有sinβ与cosβ这两个元素。

师：请说一说你的理由。

生：因为将公式⑤中的α分别替换为具体的π2，π，32π，2π，就产生了诱导公式①②③④，而诱导公式①②③④存在sinβ与cosβ，因此，在公式⑤的表达式中，sinβ与cosβ必然会存在其中。

以上教学设计，一方面，学生能比较容易地联想到数学现实中的几个诱导公式，利用其产生公式⑤的一个表达式，将学生已经掌握的知识框架与外在数学化问题信息联系起来，从而为理解式的数学学习奠定基础;另一方面，从辩证法的观点来说，一般性寓于特殊性之中，设计这样的课堂教学活动，正是辩证思想的体现。

师：很好，老师也是这样想的。那么，除了含有sinβ与cosβ，公式⑤的表达式中还可能含有其他元素吗？

生1：应该还含有sinα与cosα这两个元素。

师：为什么？

生1：因为在公式⑤中，由于cos（α-β）=cos[JB（[]-（β-α）[JB）]]=cos（β-α），由此可知，α与β具有对等性，于是，只要取β=π2，π，32π，2π，就一定可以得到与sinβ、cosβ相似的结果，只不过将这些结果中的β换成了α而已。

师：好。由此分析发现，在公式⑤的表達式中，一定包含sinα，cosα，sinβ与cosβ这些元素。那么，这四个要素可能会构成怎样的运算结构呢？

生2：经过赋值法我发现，这四者完全相加或相乘都不行，同时，我认为，它们之间不可能形成相除的结果，因此，我想它的运算结构应该是其中部分元素相乘，然后将相乘的结果再相加或相减。

（这种直觉过程非常有意义，但由于课堂时间限制，教师没有进行相应的讨论。）

师：你说的我还不大明白，哪位同学能具体解释一下吗？

生3：首先我注意研究诱导公式①，如果上面讨论的结果正确的话，那么就知道对于cosπ2-β的表达式中就应该含有sinβ，cosβ，sinπ2=1与cosπ2=0这四个元素的组合，而cosπ2-β=sinβ①就意味着……

师：同学3果然验证了同学2的发现是正确的，即完全相加或相乘，在其结论的组成结构要素中，要么结论是0，要么必然出现1作为它的一项，都不是sinβ这样的结果。现在的问题是，由①式可知，需要探讨的是sinβ，cosβ，1，0这四个元素经过怎样的组合形成sinβ这样的结论？

生4：按理说cosπ2-β的表达式中应该出现cosβ，之所以没有出现，可能由于cosβ与cosπ2（即0）相乘的缘故;同样，出现sinβ，是因为sinβ与sinπ2（即1）相乘的结果，并且这个积取了正号的缘故。因此，我猜测的结果如果不错的话，应该是cosπ2-β=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ⑥这样的表达式。

学生为了“封装”已经揭示出来的外在数学化信息，他们必须使用数学思维方法，如观察与实验、归纳、类比、猜想与想象、一般与特殊等。在对于某个原理性知识的形式命题的发现过程中，鉴于知识特点的不同，这些数学思维方法或者部分用到，或者全部用到。因此，学生需要进行动手、动眼、动脑等一系列的活动，进而理解这条知识链条上知识点的来龙去脉。只有经由数学思维方法的探究，才能达到理解数学知识的目的。与此同时，数学课程中一个非常重要的目标就是培养学生的创新能力与创新思维，这样的课堂教学活动正是培养了学生创新思维的途径之一。

生1：对②式进行观察，我发现cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ⑦也应该成立。

生2：对③④式进行探究，我发现cos32π-β=cos32πcosβ+sin32πsinβ⑧与cos（2π-β）=cos2πcosβ+sin2πsinβ⑨也都是成立的。

师：⑥⑦⑧⑨的表达式说明了什么？

生3：将⑥⑦⑧⑨四个式子一般化，就可以得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ⑩。

在合适的初始问题的刺激下，学生形成了定向的探究活动。笔者经过深思熟虑后，通过向学生提供合适的素材，启发学生自己提出初始问题。该教学方式的特点在于，所提供的数学化信息就是探究获得“两角差的余弦公式”命题的“先行组织者”，其实就是为学生的探究过程提供了鲜活的材料。由此可以启动学生探究活动的动力，形成探究的思路，而这又主要由数学知识的结构性特点决定的，从而保证了学生在有限的课堂时间内完成探究的可能性。像这样在课堂上引导学生探究“两角差的余弦公式”的教学过程，体现了学生理解“两角差的余弦公式”的知识结构的建构过程，较好地实现了课堂教学的有效性。

环节三：猜想结论的证明

师：等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ⑩是正确的吗？

生：应该正确。

师：但它毕竟只是一种猜想，大家是怎么证明的？

生：由于等式⑩右边的表达形式是关于两个坐标向量（cosα，sinα）与（cosβ，sinβ）的数量积的形式，而角的正弦与余弦都表示圆周的周期运动，因此OP3=（cosα，sinα）与OP2=（cosβ，sinβ）的坐标都是源于单位圆，所以构造如图1的单位圆。由图1可知P3（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），只要直接使用向量的数量积公式进行计算，就可以得到OP3·OP2=OP3OP2cos（α-β）=cos（α-β）B11，使用向量数量积的坐标表示公式计算，知OP3·OP2=cosαcosβ+sinαsinβB12，由B11B12，知等式⑩成立。

三、结语

要发挥数学知识的教学价值，对数学教师来说不是一件轻而易举的事情，因为它需要实现理解的教学，以提升学生数学学习的有效性。因此对数学教师提出了这三个方面的要求：其一，教师对属于某一个结构链上的知识点（环节）的来龙去脉要了如指掌;其二，在知識分析的前提下，能据此推测出学生发生具体环节时所需要的数学现实中的知识框架，通过设计促使学生的这个知识框架在“封装”信息时发挥作用;其三，依据前面两点，选择材料设计合适的初始问题。对于这三个方面的要求，教师必须要同时达到，才有可能实现指向数学理解的课堂教学的有效性，才能发挥二次开发数学教材的真正作用。

参考文献：

[1]张昆，张乃达. 设计结构性初始问题的实践与探索：数学教师专业成长的视点[J]. 中学数学（初中版），2017（6）：58-61.