谷建伟，任燕龙，张以根，崔文富

(1.中国石油大学(华东)，山东 青岛 266580；2.中国石化胜利油田分公司，山东 东营 257015)

0 引 言

现阶段，中国东部油田大多进入特高含水期，在该含水阶段油水相对渗透率比值与含水饱和度不再满足半对数线性关系[1-2]，该问题对水驱油藏开发指标预测有很大影响。目前，水驱特征曲线形式多样，主要存在以下问题：基于相对渗透率比值半对数线性规律的水驱曲线[3]在高含水期与特高含水期拟合不准确；对于多项式形式[4]和具有指数函数[5]的水驱特征曲线，当含水饱和度趋于极值时，公式左右两端不相等；部分学者[6-7]在乙型水驱特征曲线表达式的基础上，增加了一些特殊的数学函数，如含有(1-Sw)项、三角函数形式[8]及无穷项有理多项式形式[9]的水驱特征曲线，虽然解决了表达式左右两端不相等的问题，但是不能准确反映特高含水期水驱特征曲线“上翘”的现象。

针对上述问题，在重新修改相渗曲线表征形式的基础上，推导改进了乙型水驱特征曲线，通过最小二乘法与穷举法的综合运用，解决多参数拟合的问题。实例验证表明，改进的乙型水驱曲线具有高拟合度的优点，可以准确刻画特高含水开发阶段水油比与采收率的变化特征。

1 新型相渗表征公式提出及验证

为表征特高含水期水驱特征曲线的“上翘”现象，达到适用于水驱开发全过程的目的，在前人研究的基础上，对相渗关系进行一定数学形式的改进，简化相渗关系的表征形式，从而提出新型相渗关系式。

(1)

式中：Kro为油相相对渗透率；Krw为水相相对渗透率；Sw为含水饱和度；a、b、c、n为待定参数。

通过Sw的指数形式，增加了曲线的可调节程度，使拟合更加准确，同时降低了公式的复杂性；当含水饱和度趋于1时，Kro趋于0，ln(1-Sw)确保了等式两边均趋于无穷，保证式(1)表征的相渗关系可以适用于水驱开发全过程。

为了验证式(1)的普遍适用性与准确性，利用文献[7,9]，选取大庆贝尔油田某区块、榆树林油田东14区块，长庆西峰油田庄19井区以及羊二庄油田某区块4条相渗曲线数据，利用式(1)进行拟合，拟合结果如图1所示。由图1可知，4条曲线产生了明显的下弯现象，且无论曲线的形态如何，油水相对渗透率比值与含水饱和度的半对数关系曲线的拟合都十分良好，相关系数分别为0.999 4、0.999 2、0.999 6、0.999 4，可以验证新型相渗表征公式的正确性。

为了进一步验证新型相渗表征公式的准确性，选取其他3种形式的相渗表征公式与之对比[6],拟合文献[7,9]中的相渗数据，求得最小二乘误差及相关系数，从而确定拟合程度，拟合的结果如表1所示。

ln(Kro/Krw)=a+bSw

(2)

ln(Kro/Krw)=a+bSw+ceSw

(3)

ln(Kro/Krw)=a+blnSw+cln(1-Sw)

(4)

图1 不同区块新型相渗公式拟合曲线

表1 拟合曲线精度对比

由表1可知，新型表征公式(1)的拟合精度最高，其次是式(4)，最差的是式(2)。式(2)主要考虑的是相渗曲线中间直线段特征，对晚期弯曲段不适应，因此，导致整体上的拟合程度偏低。

2 改进的乙型水驱特征曲线求解

经典的水驱特征曲线在导出过程中，油水相对渗透率比值采用了式(2)的直线表达形式。因此，只要将新型相渗表征公式带入到水驱特征曲线的推导过程中，即可得到改进的乙型水驱特征曲线。

在忽略毛管力和重力影响的条件下，油藏生产过程中地面水油比可表示为：

(5)

式中：WOR为地面水油比；Qo、Qw为油田日产油、日产水量，t/d；ρo、ρw为油、水的密度，g/cm3；Bo为原油体积系数；Bw为地层水体积系数；μo、μw为油、水的黏度，mPa·s。

将式(5)两边取对数并代入式(1)，得：

(6)

采出程度和油藏含水饱和度存在以下关系：

(7)

式中：R为采出程度；Swc为束缚水饱和度；Boi为原油原始体积系数。

将式(7)变形，可得：

(8)

将式(8)代入式(6)，得：

(9)

式(9)可简化为：

lnWOR=A+B(CR+D)n+Eln(1-CR-D)

(10)

(11)

B=b

(12)

(13)

D=1-C

(14)

E=c

(15)

式(10)即为改进的乙型水驱特征曲线，考虑到含水率与水油比、采出程度与累计产油量之间的关系，式(10)也可以改写为：

(16)

式中：fw为含水率；Np为累计产油量，104t；N为石油地质储量，104t。

新型水驱特征曲线中含有A、B、C、D、E、n共6个系数，目前无法直接确定这6个系数的具体数值，因此，通过穷举法来计算C、D、n的数值，通过最小二乘法计算A、B、E的数值。

因此，构建最优化目标函数T,由此可以得到拟合误差为：

(17)

式中：m为含水率与采收率的序列长度，即油田生产总月数；Yi为每个月水油比的对数值；Ri为不同时刻采收率。

求解参数问题变为求解目标函数的最小值问题，观察式(17)可知，可以将CRi+D看成一个整体，记为Xi。但是由于C存在于对数项中，n存在于指数项上，应用最小二乘法无法直接求解，因此，采用穷举法对C、n进行排列组合，计算出每一种情况下的解，通过目标函数T比较误差大小，从而求出最优解。具体计算流程如下。

(1)导入含水率fw及采收率R的数据，fw和R均为m×1的矩阵。

(2)计算矩阵Y，Y=ln[fw/(1-fw)]。

(3)拟合过程需要构建双层循环对C、n进行排列组合，在第1层循环时给定C，计算矩阵X，X=CR+D，第2层循环开始时给定n，按式(18)计算系数矩阵K。

(18)

(4)构建矩阵方程Y=K·Z，利用最小二乘法求解矩阵方程，则Z=(KTK)-1·(KTY)，其中Z是由系数A、B、E组成的单列矩阵。

(5)利用式(17)计算此时的误差，如果此时的误差小于目前所得的最小误差，则将此时的A、B、C、D、E、n保存，否则不进行更新，直到跳出双重循环结束计算。

3 实例应用

3.1 生产数据拟合

以胜坨油田公开的生产资料为例，该油田从1966年投入开发，截止目前已开发53 a。该油田开发过程中层系、井网相对稳定，数据记录比较完整，采用1974年1月至2018年12月共540个月的月度生产数据。该油田的含水率变化有明显的阶段性特征：1974年至1990年油田含水率低于90%，处于中高含水阶段；1991年至2018年的含水率高于90%，处于高含水与特高含水阶段。利用经典乙型水驱曲线、文献[6-7]中的崔-水驱曲线与王-水驱曲线和新型水驱曲线对2个含水阶段进行拟合。第1阶段以1974年至1989年的192个数据序列进行拟合，以1990年的12个数据序列进行预测验证(表2)；第2阶段以1991年至2017年的324个数据序列进行拟合，以2018年的12个数据序列进行预测验证(表3)。

表2 中高含水阶段水驱曲线关系式对比

表3 高含水与特高含水阶段水驱曲线关系式对比

将以上4种水驱曲线与实际水驱曲线进行对比(图2)。

图2 水驱曲线拟合对比

计算4种水驱曲线拟合的最小二乘误差和相关系数(表4)。

表4 水驱曲线拟合精度对比

3.2 生产预测

利用图2中曲线，对比所得4种拟合公式在1990年和2018年的水油比预测情况(图3)。

图3 不同拟合方式水油比预测情况

计算4条水驱曲线预测的残差平方和与平均相对误差(表5)。

表5 水驱曲线预测误差对比

由图3、表5可知：在中高含水阶段，乙型水驱曲线与王-水驱曲线的预测水油比偏小，误差较大，平均相对误差均大于11%，且变化趋势大致相同；崔-水驱曲线与新型水驱曲线的预测水油比相近，新型水驱曲线的相对误差更小，平均相对误差仅为2.27%。在特高含水阶段，乙型水驱曲线与王-水驱曲线的预测水油比偏小，崔-水驱曲线的预测水油比偏大，误差均较大，而新型水驱曲线的预测误差很小。从水驱开发全过程来看，新型水驱曲线的拟合精度与预测均较好，对于油田的生产开发调整具有一定的指导意义。

当预测采出程度达到45%，传统乙型水驱曲线与新型水驱曲线的预测情况如图4所示。由图4可知，虽然实际的水驱曲线由于某些因素导致局部含水率降低，但油田总体的含水率变化趋势是上升的。当采出程度达到45%时，传统乙型水驱曲线的预测水油比为4.15，含水率为98.45%，新型水驱曲线的预测水油比为4.65，含水率为99.05%。综合图3、图4可知，新型水驱曲线在不同的生产时期和含水阶段均具有很好的适用性，拟合与预测效果良好，并且能够很好地拟合特高含水期曲线的“上翘”阶段。

图4 采出程度为50%的水油比预测

4 结论与建议

(1)在前人研究的基础上，提出了一种新型相渗关系表达式。岩心驱替实验表明，与其他几种表达式相比，新型相渗关系式的适用情况良好，拟合精度较高。

(2)基于新型相渗关系所推导的水驱特征曲线与经典乙型水驱特征曲线相比，在以下方面有所改进：通过Swn指数形式，不仅避免了水驱曲线复杂冗长的缺点，同时能够对水驱油田开发全阶段进行拟合；该水驱特征曲线可以通过改变C、n的值提高拟合精度；在保证高拟合精度的同时，还可以对油田后续开发进行一定的预测。新型水驱特征曲线可以较好地反映特高含水期水驱特征曲线“上翘”现象，应用效果良好。

(3)实际应用中，可以利用拟合得到新型水驱特征曲线进行生产开发预测，判断油田的含水率变化，对于油田的生产开发具有一定的指导意义。生产数据更新后，可以重新进行水驱曲线的拟合，实现实时预测，从而提高预测的准确性。

(4)在新型水驱特征拟合曲线上有时会出现尖点，这是由于新型水驱特征曲线表达式的右侧存在ln(1-CR-D)，当(1-CR-D)趋近于0时，会造成预测曲线局部的迅速变化，在实际应用中并不会影响曲线的预测趋势，可以通过高阶插值的方法消除尖点。