广东省高州市第二中学()

当前，高三数学复习备考的教学现状不容乐观，单纯的“题海战术”与“每天一小考，每周一大考的考试模式”仍然是备考主旋律.学生已经成为解题的傀儡，他们进行大量机械的练习，目的是为了进行知识的掌握，复习效果不是很好，老师学生家长都苦不堪言.而这违背了素质教育的宗旨.我经过多年的高三数学教学，我对高三复习课做了长期追踪与反复调研反思，觉得高三复习课堂教学要注重专题课，习题课，评讲课等，课型可以多样，不过这些课的本质是一样的，就是要培养学生的理解能力，分析能力，运算能力，迁移能力.但是，我们的老师虽然都了解高考对学生的能力要求，但是在复习课中依然存在很多问题，容易不知不觉地走进一些误区.下面就高三数学复习课中出现的四大误区进行分析，探讨对策.

1 误区一：重容量，轻概念

波利亚曾经说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不大复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”虽然很多教师都有这样的意识，但认识与自己的实践有时不能统一，受很多压力因素的影响，不少教师在高三复习时喜欢追求题的容量，追求难题，而疏于对基础知识，基本概念的讲解，导致学生不能理解，学生解题就会出现生搬硬套的错误.我在一次调研听课中，一位教师讲评这样一道题：

案例1已知定义在R上的奇函数y=f(x)，满足f(2+x) =f(2- x),当-2≤x≤0时，f(x)=2x，则f(2013)=_____.

教师：根据条件f(2+x)=f(2-x)可以得到函数图像关于直线x=2 对称，又是奇函数，所以函数的周期是8，则f(2013)=f(5)=f(-1)=.

这时，一个学生提出一个问题：为什么周期是8？

这位老师对学生说：“你把图像画一下，就可以看出来.”

另外一个学生又提出一个问题：我画出图后，看出周期是8，可为什么有f(2013)=f(5)=f(-1)呢？

这位老师比较耐心地和学生解释：“因为周期是8，那么自变量依次减8 函数值仍然相等，所以有f(2013) =f(2005) =f(1997) =···=f(5)，或f(2013) =f(251×8+5) =f(5)，而利用f(2+x) =f(2-x)，得到f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1).

我认为：这位学生的问题代表了一批学生，为什么学生不理解，是因为他们对一些基本概念的认识模糊了.事实上，本题综合考查了函数的对称性，周期性，是一个典型的好题，讲解时应该“小题大做”，从形与数两个方面细致的呈现解题过程，将轴对称，中心对称，函数的周期性的概念，表达，应用等讲透，讲到位.本题的周期为8，不能单从图像上看出，还要让学生“知其然”，还要“知其所以然”.

对策一重基础，通概念，培养学生的理解能力

我认为理解题目解题过程的每一步的必要条件就是明晰概念.要培养学生的理解能力，首先要让学生掌握概念，概念是思维的细胞，而要掌握概念，我们必须把握好学生的基础.在数学的核心概念上做到不惜时，不惜力，只有扎实打好基本知识与基本技能，理解题目的本质，才能发展高层次的数学思维，去解决更难的问题，也能让学生的理解能力更上一个台阶.如果我们在学生不理解概念的情况下让学生做大量的综合运用，急着多做几个题目，这样反而会强化学生的错误认识，得不偿失.另外，教师一定要在学生面前强调理解基本概念的重要性，让一些走进题海埋头苦干的学生从题海中走出来.

2 误区二：重自讲，轻引导

高三课堂，教师总是以为讲多一些题，每一个学生就能掌握好，不关心学生的审题角度与思维方向，不关心学生的解题分析过程，难以分析学生的错误，不能更好指出解题思维的不足，导致复习课课堂效率低下.我曾在我的课堂上讲过下面的例题：

案例2已知函数则

本题是较难的题，学生做后，我让学生把各自的做法进行交流.

学生A:看了这题目，觉得无从下手，就直接代入计算，但太繁，没有算到底.

学生B:我把函数化简为然后再代入计算的.

事实上，学生A,B的方法都不是理想的方法，同学们没有通过分析条件得到想要的简便的解答方法.因此，我稍微提示同学们.

教师：很好！踏实运算，这是没有办法的一种做法，本题平淡中蕴含着巧妙与智慧.还有其他方法吗?同学们可以重新读一次题目，看看题目中的函数表达式隐含什么特点，它想考我们什么内容，难道只是单纯一个没有什么特点的函数求值？

此时，课堂上，同学们活跃起来，同学之间相互讨论，研究题目.几分钟后……

学生C:我觉得这个题的函数表达式有一定特点，所要求的函数值的两个自变量也有点特殊，一定有内在的联系，可能要联系函数的性质，不过我还没有发现.

教师：这位同学很注意函数式子与自变量的特征，这个方向是对的.函数能否化为常见的的函数式子？

学生D:可以分离常数的方法，将函数这个函数的图像关于(-1，1)成中心对称，所以函数f(x)图像也可能关于某一点对称.

教师：想法很好，函数g(x)的中心对称性，我们有g(x)+g(-2-x)=2.

学生E:原来如此，我想到了.(十几个同学很踊跃)，因为所以我们只要求f(x)+f(-5-x),看是否为定值就好了.

大家很兴奋，立刻动手，得到f(x)+f(-5-x)=8,为定值，猜想正确.因此，函数f(x)关于点对称，所以所求值为8.终于把题目的真面目揭开，学生们都很开心啊!

如例2，教学中注重引导学生思考分析，课堂气氛与效率自然提高.

对策二重引导，通思维，培养学生的分析能力

高三课堂，更加应该学会引导学生分析，不能生硬把答案呈现在学生面前.面对一个新的问题，学生自己如何寻求解题思路？解题依据是什么？

第一.需要教师引导，让学生跟随老师的思维过程中学会思考.学生的思考能力在模仿教师的思维中慢慢提高.

第二.课堂充分体现学生的主体性，充分展现学生的思维过程，面对题目，学生经历审题，分析，解决，出现错误，纠正，调整方案等一系列过程.课堂教学应给学生机会展示他的思维过程，从而养成分析问题的良好习惯.只有这样及时发现并肯定学生的思维“碰撞点”与纠正存在的问题，这样的课堂，相信不会再沉闷，学生也能在这样的课堂过程中发展分析思维.

3 误区三：重多法，轻算理

章建跃博士认为：数学学习的基本任务就是学会运算与推理，运算离不开推理，推理在高中乃至整个基础教育阶段的数学学习中的展现形式就是运算.这些道理，教师与学生都懂，但是，我深入了解过高三复习课，很多数学老师尤其是尖子班教师，以为尖子生的运算能力肯定较好，在讲解题目或者做题时候，都是着重讲解多种思路解法，而忽略训练学生的运算解答能力.导致很多学生考试时候都是“算错数”，“计算繁，不敢做”，“有思路，没法算”而失分.运算能力差，这俨然已经成为通病.

对策三重训练，通算理，培养学生的运算能力

如何提高学生的运算能力呢？我认为在高三数学复习课堂教学上，要着重落实“训练”与“算理”两个词.基于数学的形式化演算特点，我们必须在运算操作上达到熟练而准确.

近年来，全国卷的高考真题中，作为核心素养之一的运算能力一直是考查的重点.体现比较突出的就是解析几何这个专题上.如2018年全国1 卷理科，解几的题目提前放在第19题，并且题目的思路非常顺当，一般的学生都知道如何解答.但是，它的难点在它的运算过程，学生们答题时候，导致计算一步错就步步错，有些同学甚至知道思路而不敢动笔.实际上，做解几这道题，我们首先要根据条件寻求合理，简捷的运算途径策略，然后动笔把整道题写完整.

案例3(2016 全国1 卷理，T20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

图1

图2

这道高考题第(2)问，我让学生探讨它的解法，学生提出三种解法(如下面流程图)，我引导学生思考，从思维切入，化繁为简，减少变量个数三个方面做了比较，最后找到最优的解法.

解法一设直线MN的方程，设P,Q两点→求MN长，求P,Q分别到MN的长→建立四边形MNPQ面积→化简面积表达式，进行最值讨论.

解法二设直线PQ的方程，设M,N两点→求PQ长，求M,N分别到PQ的长→建立四边形MNPQ面积→化简面积表达式，进行最值讨论.

解法三设直线MN,PQ的方程，设M,N两点→求MN,PQ的长→建立四边形MNPQ面积→化简面积表达式，进行最值讨论.

另外，进行最值讨论的时候，我又引导学生从两种方法进行：换元法和分离常数法.

实际上，这样一节课下来，其立意是学生运算能力的培养.学生完成上面几种解法，应该说，对解析几何中的一些基本运算，学生得到了充分的训练，如求直线PQ的方程，求圆的弦长，椭圆的弦长，直线与椭圆交点运算，对目标函数表达式的化简，求最值等方面，都做了训练.并通过解法的比较，探究运算的方向，使学生明白算理，寻求简捷的运算途径，寻求最优化解法.从总体上，提高了学生的运算求解能力.

4 误区四：重变式，轻总结

高三数学复习课堂上，很多时候，对于一个数学问题，我们通常会将问题通过不同的变式训练，将内容与解法讲得非常清楚，然而，当把问题重组变式后，会发现仍然有很多学生解决不了.原因何在？我觉得是缺少数学思想方法的总结，没有概括，提炼，整合，升华，学生的迁移能力没有得到强化与提高.

对策四重总结，通方法，培养学生的迁移能力

数学思想方法是解题的源泉.学生要形成基本数学方法体系结构，需要教师在教学中适当的总结.心理学认为，初步形成的行为必须适时强化，不强化就会消退.基于此，若然我们不能及时总结，把数学方法转化自己大脑的信息，解题时候，知识点不能很好迁移，审好题目，解答好题目就是一句空话.

高三复习课中的总结过程，主要有两种：

第一种，课中的及时小结.教师课堂上，在某个知识点上，某个题目条件的转化规律上，都可以适时带领学生总结通性通法.

举个例子：对于求平面向量数量积的问题上，我们一般的规律是用基底法，坐标法，定义法.实际上，遇到平面向量数量积的问题，我们只要积极联想这三种通用方法，将其迁移到其他题目上，是不难得到答案的.

第二种，课尾的全面总结.课堂完善的总结，形式可以多样，可以有对照比较式总结，条件迁移式总结，反思纠错式总结，框图展示式总结等.

再举个例子：对“判断函数的奇偶性”这个课，整个课堂都是变式训练，课尾的时候，教师引导学生对照比较，反思交流性总结，并绘制下列框图作为课堂总结：

图3

这个导图，让学生更加明晰知识点与题型迁移.无论是抽象函数还是具体函数，都可以用这个方法解决，从而完成知识方法的提炼与灵活运用.

教师是课堂的引导者，其引导的作用就体现在“总结升华”的质量上.而高考题，都是从课本，从高考真题，模拟题中变形改造得到.教师应站在知识体系的高度去思考，带领学生将知识整合，方法总结，将学生难于理解，不易掌握知识规律化，将知识方法变成“集成电路板”印在学生的脑海中，那样，学生就能从一个题的解法归纳提炼出解决一类题的思想方法，最终达到培养学生的迁移能力的目标.

以上是我对高三数学复习教学中出现的四大误区及其对策研究的总结.我在一线教学多年，历经教学理念的更新，高考制度的改革，但感受到的是学生做的题一年比一年多，教师上的课一年比一年多，课堂容量以倍增加.而教师与学生在复习课上，走进了题海，但是毫无目的，教师对高三课堂教学的有效性研究越来越少，备课没有深加工，这样的教学是营养不良的，价值残缺的.

数学难教难学，难在何处？我仍然认为：高三数学复习课堂上，除了注重数学概念的理解，扎实打好基础，课堂善于引导学生分析，思考，总结.最重要的是，教师们要对高三复习课的模式做一个深度学习，明确课堂立意，明确课堂能力培养，深度培养学生的理解能力，分析能力，运算能力，迁移能力.