广东省佛山市第一中学()

佛山科学技术学院数学与大数据学院(528000) 刘煜铭

概念教学是中学数学教学至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好数学概念也是学好数学最重要一环.下面以“事件的独立性(第一课时)”为例阐述与说明如何进行概念教学设计并有效开展概念教学.

案例“事件的相互独立性”(第一课时)教学设计

【教材】人教A版数学选修2-3 第二章2.2.2 事件的相互独立性第一课时

【教学对象】佛山一中高二学生

1 内容和内容分析

概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是其中重要内容之一，由于实际需要，对概率论中独立性的研究也较为重要，并且独立性对解决一些实际问题具有理论意义.对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程.同时，事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用.

在教材中的地位分析，它是条件概率的延伸，同时为独立重复试验和二项分布的学习作铺垫.

2 目标和目标解析

2.1 知识与技能

结合上述内容，认为“2.2.2 事件的相互独立性第一课时”的主要教学目标是：

(1)了解独立性的概念，从对独立性的感性认识(直观判断)过渡到独立性的定义以及严谨的判定定理.

(2)能够借助条件概率，对独立性的判定P(AB) =P(A)P(B)进行推导，生成和理解.

(3)独立性性质对概率问题的解决和应用.

2.2 过程与方法

通过对相互独立事件的概念形成，培养学生观察，类比，归纳的能力.

2.3 情感态度与价值观

通过类比猜想，让学生体会自我探究的乐趣和成就感.

3 教学问题的诊断分析

(1)在学习了古典概型以后，许多学生虽然还没有真正学习互相独立事件的积的概率，却往往会从生活经验出发，利用事件概率的积来计算一些“看上去没有关系”的事件的积的概率，例如投两颗骰子，两次都投到“6”的概率是所以对于本次课学生已有足够的感性认识，至于如何升华为严谨的理论定理将是本节课的关键.人教A版教材在“事件的独立性”这个课时前面安排了“条件概率”的学习，笔者认为这具有很强的承上启下的作用，利用条件概率过渡到新知识，学生较易接受.

(2)在判断事件独立的问题上，学生容易出现以下想法：“可以利用感性认识直接判断事件的独立性，何必如此麻烦先通过计算，然后使用独立性公式判断呢? 显得多此一举.”应该承认这种判断颇有道理，但并非所有的问题都那么容易判断的，教师需要在此构建例子，设置认知跳跃点.

(3)在独立性的定义的理解上，可以通俗理解为，“A发生与否不影响B发生的概率，B发生与否不影响A发生的概率”，这是正确而且严谨的.但部分同学会将其定义为“事件A,B没有关系，则事件A,B相互独立.”而如何才能认为事件A,B没有关系呢，同学们容易理解为：“事件A,B互斥，不可能同时发生，则事件A,B没有关系.”但事实上，事件互斥和独立性之间并没有必然关系.

4 教学设计

4.1 教学流程设计

图1 教学流程设计

4.2 教学设计过程

教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图环节一、巧妙引入，回 顾旧知(预计 5分钟)问题一 类比集合的运算，我们先回顾一下事件的运算有哪些?什么叫事件A、B的和事件?和事件的概率如何计算?预设回答【事件A或事件B 发生叫事件A、B的和事件，和事件的概率计算公式为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)】问题二 当出现什么情况时，这个式子可以最简化?并说明原因.预设回答【当事件A和事件B 互斥时，P(A+B) = P(A)+P(B).因为事件A和事件B 互斥，那么事件A和事件B 不可能同时发生，即P(AB)=0】.问题三和事件的概率公式我们已经非常熟悉，那么积事件的概率公式又是怎样的呢?(教师提示：可以借助条件概率)【P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A 发生的概率乘上事件A 发生基础上事件B 发生的概率或者等于事件B 发生的概率乘上事件B发生的基础上事件A 发生概率】PPT展示，引 导学生思考问题情境并作出回答.引导学生对和事件和积事件的概率计算公式进行回顾.思考回顾.回顾旧知，联系新知.引起学生对旧知的主动复习，并将认知结构中与本节课相关知识点(和事件，和事件概率计算公式、互斥事件的定义，互斥条件下和事件概率计算公式的变形) 充分调动起来，以及通过联想条件概率的定义，让学生说出积事件的概率计算公式.

教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图环节二、独立性性质的识别(预 计 8钟)思考 两张奖券有一张可以中奖，现由三名同学依次有放回地抽取，问：其中，设事件A为“第一位同学没有中奖”.设事件B为“最后一位同学没有中奖”.请求P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(B■■¯A)答：基本事件总数有8个，事件A 包含的基本事件数有4个，事件B 同理，P(B)=P(A)= 1 2,P(AB)= 2 8=1 4,P(B■■A)= 2 4=1 2巡 视，观察学生的求 解，并展示学生的求解结果.通过“有放回”实 验和“无 放回”实 验，分别计算出，P(B|A),P(A),P(B)的值，思考并计算.在条件概率的学习中，学生在无放回实例的计算中感受当事件A对事件B 有影响时，是由于事件空间发生了改变.而在有放回实例中，因为第一位同学中奖不中奖对最后一位同学中奖不中奖都没有影响，所以第一位同学抽取的时候是三张奖券，最后一位同学抽取的时候依旧是三张奖券.环节三、类比生成概念思考为何在有放回实验中，P(B)=P(B|A)【因为在有放回实验中，最后一名去抽的同学的中奖概率不会受到第一位同学是否中奖的影响，事件B和事件(B|A)的样本空间相同.】[定义]当A 发生与否不影响B 发生的概率，B 发生与否不影响A 发生的概率，则称事件A与事件B 相互独立.【学生活动】下面请大家观察后，进行类比猜想，填空.和事件的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).当事件A和事件B 互斥时，积事件的概率公式为：P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)当事件A和事件B时，.【引导语】在一种特殊情况(互斥)下，和事件的概率公式可以得到简化，请类比猜想，在哪一种特殊情况下，积事件的概率公式可以得到简化.针对例题所 得，追问学生，进一步探究事件A,B之间的关系.给 一定时间思考 后，让学生回答填空答案.思考为何P(B)=P(B|A)，并且根据思考所得，观察和事件并对应填空.最后证明猜想，形成概念.在有放回实验中，可以发现P(B)的值等于P(B|A)的值，引导学生思考出现相等的原因是什么.活动目的：抓住和事件和积事件在某一种特殊情况能够得到简化的特点，将两者进行类比，并让学生猜想，在哪一种特殊情况下，积事件的概率公式可以得到简化.小结：如果我们需要判断两个事件是否独立，有什么方法?预设回答：相互独立，P(AB)=P(A)·P(B)【事件独立性判定】当事件A的发生不会影响事件发生的概率即P(AB)=P(A)·P(B)则事件A与B是相互独立事件.【事件独立性性质】当事件A和事件B 相互独立时，有P(AB)=P(A)·P(B).由此可见，P(AB) = P(A)·P(B)，是事件A和事件B 相互独立的充要条件.问：事件A和事件B 相互独立，那么B与¯A，B与¯B，¯A与¯B的关系如何?答：事件A 事件B 相互独立，事件A的发生不发生不会影响事件B 发生不发生.【小试牛刀】分别投掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚为正面”为事件A，“第二枚为正面”为事件B，“两枚结果相同”为事件C，事件A,B,C 哪两个相互独立?1、感性认识，例如抛一枚硬币两次，前后两次的结果肯定是互不影响的.2、若P(B)=P(B|A)则事件A,B 相互独立.3、若P(AB)=P(A)·P(B)判定，则事件A和事件B 相互独立.

【课后作业】甲、乙两人参加一次英语口试，已知在被选的10 道题中，甲能答对其中的6 道，乙能答对其中的8 道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率.(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

4.3 板书设计

事件的独立性

【复习回顾】

和事件的概率计算公式

积事件的概率公式

思考题

【类比】

和事件的概率公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，

当事件A和事件B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B).积事件的概率公式为：

P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)，

当事件A和事件B相互独立时，P(AB)=P(A)·P(B).

【定义】

独立性判定：P(AB)=P(A)·P(B)判断两个事件是否独立，有以下方法：

【练习】

臭皮匠诸葛亮题解：

例题提升题解：

5 教学反思

本节是笔者参加我校2019年度“青年教师基本功大赛”的比武课，有幸荣获“特等奖”.本节课是一节概念课，而概念课的重点之一在于概念的生成，这也恰好是笔者备课过程中感觉到相对比较棘手的地方.细读教材，本节课中课本对概念的生成较为简单直接，是从“三张奖券的有放回抽取”的感性认识中导出，然后直接给出事件独立性的判定：若P(AB) =P(A)P(B)，则事件A和事件B相互独立.考虑到新旧知识的衔接和学生的认知规律，在教学设计中笔者在此处做了一个创新，即通过对人教A版《必修3》中概率的性质进行复习，若事件A和事件B互斥，事件A和事件B和事件的概率可以直接相加，类比到本课中事件的独立性定义的导出：若事件A和事件B相互独立，事件A和事件B积事件的概率可以直接相乘.如此设计既加强了学生知识网络的建构，又能避免生硬的灌输式概念教学.

在定义的生成这一部分，本质上应为事件A的发生与不发生对事件B的发生与不发生没有影响，因此笔者在教学设计中对于课本的“三张奖券有放回抽取”思考题增加了求解这样设计更有利于定义的生成与理解.

第二部分是学情了解，本节课在课本中是人教A版《选修2-3》的内容，但学生需要的基础知识除了本节课前一小节条件概率以外，更多的是高一已经学习的概率论内容，而由于已经过去大半年时间，学生对概率论基础知识点不太熟悉了，因为在这节课的呈现上，复习也是一个重要的环节，有了旧知的铺垫，才有利于新知的生成.

第三部分是对于本节课重点的把握，本节课主要从独立性概念的引出与生成、独立性的识别、独立性的应用三个方面展开教学，而重中之重是独立性的应用.在这个环节，为了激发学生的学习兴趣，笔者用了一个趣味性较强的例子——“三个臭皮匠是否抵一个诸葛亮? ”为问题背景去设计应用，且笔者按照教学目标层层递进，又将问题细分成4个小问题，通过这样的细节设计，教学效果也得到了比较好的呈现.通过本节课的教学设计与实施，笔者意识到：当某个知识点呈现给学生，而学生不能一下子消化理解时，我们可以考虑以下的几个因素：(1)旧知识遗忘，导致过渡困难；(2)知识点较抽象或者较复杂，不够简单直接.针对以上情况，我们可以按以下方法处理：(1)课前回顾旧知识，铺垫后再慢慢渗透；(2)把知识点进行适当的拆解和细化，让学生容易理解.

第四部分是板书设计，有人说板书设计是数学课的灵魂，这话一点不假.一堂课下来，清晰的教学脉络完完全全地呈现在黑板上，对于教师和学生而言又何尝不是一种享受.而在这次教学比赛中，笔者也同时了解到板书艺术其实更是一种“留白的艺术”，在书写板书时能给学生以恰到好处的时间理解消化，而不是急急忙忙地“过堂灌”.对于这种“留白的艺术”，更能体现以学生为主体的教育理念，“教”只是一种引导，而“学”才是其中的主导，希望在以后的课堂教学中能够铭记这一点，多给学生思考的时间和空间，达到师生教学相长的目的.