孟 彪 许章永

(江苏省南京师范大学附属扬子中学 210048)

一、模型解析

通过对历年高考题及联考题、模拟题的分析可以发现，各地区高考、模拟考压轴题多以lnx、x、ex通过组合得到新的函数模型，本文将其抽象为f(x)=ax+blnx+c模型.这种模型看着复杂、难解，但是著名数学家华罗庚先生曾说过：对于复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.

笔者所在学校于2019年10月开展了一场南京市专家视导教学，本次视导教学的主题是：研究函数f(x)=ax+blnx+c模型.笔者将这次视导的内容和研究心得整理后呈现给大家，供大家参考.为了研究的方便，先从模型的一种简单形式开始研究，令模型中的a=1,b=-1,c=-1进行研究.

问题探究f(x)=x-lnx-1，x∈(0,+)的性质.

(1)函数：f(x)=x-lnx-1≥0恒成立，(2)不等式：x-1≥lnx，(3)方程：x-lnx-1=0的根是1.以上从函数、不等式、方程三个方面对模型进行分析研究.

将x用ex替换可得ex≥x+1，进一步又可以得到ex≥x+1>x>x-1≥lnx.这个不等式串是压轴题中常用的放缩形式.几何意义如图1所示：

评注让学生课前先探究f(x)=x-lnx-1，x∈(0,+)模型，课堂上加以引导可以得到函数、方程、不等式三者之间的关系，然后让学生将x用ex替换可得到一系列不等式串，这是从数的角度理解，为下面的专题中的放缩作铺垫，再引导学生从形的角度加以解释，即得到图1的函数图形.

本文通过一个典型的例题来阐述这一函数模型：f(x)=ax+blnx+c，然后进行推广，例题如下：

例1 已知函数f(x)=ax-lnx-a,

(1)若函数f(x)≥0恒成立，求a的值；

(2)若a>0时函数f(x)有且只有一个零点，求a的值；

解析(1)问，方法1：分参，f(x)≥0⟺a(x-1)≥lnx.

当x=1时，f(x)=0，此时f(x)≥0恒成立.综上，a=1.

方法3：数形结合法，a(x-1)≥lnx可以理解为函数y1=a(x-1)图象在y2=lnx的图象上方，由图2可知a=1时y=x-1是y=lnx在(1,0)处的切线，a为其他值均不满足.

评注本题常规做法学生首先会想到用数学归纳法来证明，但是证明过程繁琐、易错，这里不再呈现.但是如果知道探究的两个不等式模型就可以快速构造函数解决问题.

二、模型推广

函数模型f(x)=ax+blnx+c中的x用x2代替，可得f(x)=ax2+blnx2+c，化简可得f(x)=ax2+2blnx+c，进而可以将模型的次数升高、形式复杂化，这种形式备受命题者青睐.将f(x)=ax+blnx+c中的x用ex代替可得f(x)=aex+blnex+c将其化简变形可以得到f(x)=aex+bx+c，由此得到x、ex的组合函数形式.无论如何变化，但“万变不离其宗”，本源还是来至于模型：f(x)=ax+blnx+c.因此，只要将本模型f(x)=ax+blnx+c研究透彻，就可以解决这一系列问题.

三、考题再现

例1(2017年高考全国Ⅱ卷理数)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．

(1)求a；(2)略.

解析本题中f(x)看着形式比较复杂，直接分参或者讨论单调性均难以得到正确答案，但是分析发现，只需要对f(x)形式稍作处理就能快速得到答案，f(x)=x(ax-a-lnx)≥0，x>0可以转化为f(x)=ax-a-lnx≥0,x>0，同例1(1)问，这里不再赘述.

评注洞察题目的本质，发现其本源所在是提高解题能力必不可少的一步，本题稍加处理后即转化为例1研究的模型，一个复杂函数问题可转化为一个熟悉、简单的模型，问题迎刃而解.

例2 (湖北省武汉市2012年高三调研)已知函数f(x)=lnx-kx+1.

lnx1，上述问题得解.

评注本题证明题看着形式很复杂，学生遇到后很可能第一选择是数学归纳法，但是证明复杂，不易得分，如果洞悉本题的本质，只需构造一个不等式模型即可解决，而这个不等式正是探究中研究过的形式，下面的解题思想与例1(3)思想如出一辙.

例3 (2019年南京六校联合体考试)已知函数m(x)=x2，函数n(x)=alnx+1,a∈R.若函数f(x)=m(x)-n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

综上，a∈(-,0]∪{2}.

评注本题的难点在于突破“隐零点”，(ⅱ)中利用“局部为零法”思想发现令x=e-1/a时f(x)的值大于零，由零点存在定理可知不符合题意，这里x还可以取e-1/2a，e-1/3a，….对于(ⅲ)需要找出f(x)大于零的部分，常规做法很难处理，但是利用本探究的“不等式放缩法”lnx≤x-1很轻松地就能解决问题.

例4 (2018 年全国新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(2)证明：当a≥e时，f(x)≥0.

评注本题表面来看是由lnx、x、ex组合而来的复杂形题目，但是分析后利用“不等式放缩法”转化为本文探究的模型.因此，本体的主要工作就转化为证明构造的不等式，而这个不等式的证明很简单.

四、反思总结

以上通过具体实例阐述了函数模型f(x)=ax+blnx+c,并得到两个常用不等式：x-1≥lnx，ex≥x+1.可以用这两个不等式解决恒成立问题、“隐零点问题”、“极值点难求问题” ，证明数列不等式等.在历年的各类考试中, 压轴题以lnx、x、ex组合为背景命题,屡见不鲜, 值得广大师生重点关注.而在解决此类问题时, 需要从多个角度, 发散思维的考虑问题，注意回归本源，不能生搬硬套模型、解题方法和技巧,需要在实践中多次尝试、领悟, 方能在解题中提高自身的能力，达到提升学生数学运算、逻辑推理、数学抽象的核心素养.