杜红全

(甘肃省康县教育局教研室 746500)

复数是高考的热点内容，以选择、填空的形式出现，题目难度不大.通过对复数历年高考试题的研究，发现考点题型有以下几个方面，供同学们在复习时参考.

一、复数的概念问题

例1(2016全国Ι卷，文2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( ).

A.-3 B.-2 C.2 D.3

解析原式=(a-2)+(2a+1)i，由已知得a-2=2a+1，解得a=-3，故选A.

点评本题考查复数的实部和虚部的概念.解此类题的关键是先把原式变形为a+bi(a、b∈R),然后再根据复数的相关概念来求解.

跟踪练习1 (2016江苏，理2文2)复数z=(1+2i)(3-i)，其中i为虚数单位，则z的实部是____.

(答案：5)

二、复数的相等问题

例2 (2015全国Ⅱ卷，理2)若a为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a=( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

点评解本题的关键是先将(2+ai)(a-2i)进行运算，变形为a+bi(a、b∈R)的形式，然后根据复数相等的条件列出关于a的方程即可.

(答案：2)

三、求复数或共轭复数的问题

A. -1+2i B. 1-2i C. 3+2i D. 3-2i

跟踪练习3 (2015全国Ⅰ卷，文3)已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( ).

A.-2-i B.-2+i C. 2-i D. 2+i

(答案：C)

四、求复数模的问题

例4 (2016全国Ⅰ卷，理2)设(1+i)x=1+yi，其中x,y是实数，则|x+yi|=( ).

点评解本题的关键是根据复数相等的条件列出关于x,y的方程组，求出x,y的值，然后再利用求复数模的公式计算即可.

(答案：A)

五、点的位置问题

例5 (2016全国Ⅱ卷理1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( ).

A.(-3,1) B.(-1,3)

点评解本题的关键是先把复数化为a+bi(a、b∈R)的形式，再根据点所在的象限，列出不等式组求出实数m的取值范围.

跟踪练习5 (2016北京，理9)设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=____.

(答案：-1)

六、复数的运算问题

A.1 B.-1 C. i D.- i

A. i B.1+ i C. -i D. 1-i

(答案：A)

七、复数的一元二次方程求根问题

A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3

C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1

点评本题主要考查的是实系数方程根的性质及根与系数的关系、实系数方程的虚根成对，难度不大.

跟踪练习7 (2012湖北，理1)方程x2+6x+13=0的一根是( ).

A.-3+2i B.3+2i C.-2+3i D.2+3i

(答案：A)

八、复数与其它知识的综合

例8 (2015陕西，理11)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( ).

点评本题将复数与几何概型交汇，考查数形结合的思想.解决本题的关键是准确画图,根据图形容易看出面积关系，还省去了求∠OBA，直观看出其大小为90°.

跟踪练习8 (2014浙江，理2)已知i是虚数单位，a,b∈R，则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( ).

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

(答案：A)