杨苍洲

(福建省泉州第五中学 362000)

一、题目呈现

题目(2015年高考全国Ⅰ卷理科)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( ).

在求解函数、方程、不等式的一些问题时，常常用到“参数分离”的方法，即把参数a与变量x完全分开，分别置于不等式的两边，再研究不等式的两边函数的取值情况，最后作出判断.但是本题若进行参数分离，却会使得问题变得更加繁琐，难以求解.因此，本题宜改变策略，为了破解此类题，我们需要掌握两个求解技巧：一参数半分离法；二数形结合思想.

解设g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a，由题意知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线h(x)=ax-a的下方.

又直线h(x)=ax-a恒过点(1,0)，且斜率为a，

二、数学思想与解题技巧

1.解题的技巧——参数半分离法

“化生为熟”是常见的解题方向，因此我们考虑把函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a分解成两个熟悉的函数：g(x)=ex(2x-1)和h(x)=ax-a.其中h(x)为过定点(1,0)的动直线，也可以导数为工具研究g(x)的大致图象.作出两个函数的图象后，研究动直线的运动情况，寻找满足条件的动直线，进而限制出动直线斜率a的取值范围.

2.解法的内涵——巧用数学思想

本题求解过程的本质主要应用数学思想解题：化归与转化思想和数形结合思想.

化归与转化思想体现在：把“存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0”转化为“存在唯一的整数x0，使得曲线g(x)=e(2x-1)在直线h(x)=ax-a的下方.”

数形结合思想体现在：先作出曲线g(x)=e(2x-1)与直线h(x)=ax-a，然后通过两曲线的位置关系找出满足题意的直线.

三、举一反三

题1设函数f(x)=x3-3x2-ax+5-a，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( ).

解设g(x)=x3-3x2+5(x>0)，h(x)=ax+a，由题意知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线h(x)=ax+a的下方.

因为g′(x)=3x2-6x，所以当02时，g′(x)>0，g(x)单调递增.当x=2时，g(x)min=1.其图象大致如图2.

又直线h(x)=ax+a恒过点(-1,0)，且斜率为a，

题2已知函数f(x)=ln(x+1)-x2+(2-a)x-a(a∈R)，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)>0，则a的取值范围是( ).

解设g(x)=ln(x+1)-x2+2x(x>0)，h(x)=ax+a，由题意知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线h(x)=ax+a的上方.

又直线h(x)=ax+a恒过点(-1,0)，且斜率为a，

题3若关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A，且(2,+)⊆A，则整数k的最大值是____.

解由x(1+lnx)+2k>kx,得x(1+lnx)>k(x-2).

令f(x)=x(1+lnx)(x>2)，则f′(x)=lnx+2>0.

所以f(x)在(2,+)单调递增.

f(x)的图象大致如图4.

又因为g(4)=e2-8<0，g(5)=e3-10>0，

所以方程(*)存在唯一解k0，且k0∈(4,5).

由图可知k