刘 龙

(中国铁路设计集团有限公司，天津 300308)

改革开放以来，我国公路与铁路工程中出现了多座主跨500 m以上的大跨度斜拉桥，其中苏通长江大桥(主跨1 088 m，公路，2008年建成)、沪通长江大桥(主跨1 092 m，公铁两用，在建)主跨跨度更是超过了千米大关[1-2]。

斜拉索作为一种柔性结构，有明显的几何非线性特征，随着斜拉桥跨度的增大，斜拉索自重增加，其受自重垂度影响产生的几何非线性效应变得尤为明显[3-4]。设计阶段可根据斜拉桥合理成桥状态，考虑斜拉索的几何非线性效应，计算斜拉索索形，以确定斜拉索的无应力长度，梁端及塔端拉索锚固结构的倾角等，进而进行施工阶段倒拆、正装分析。

拉索常用的分析方法有数值解析法和有限元法[5-10]。数值解析法包括：采用代数函数的抛物线法；采用双曲函数的悬链线法。有限元法包括：等效弹性模量法；多段杆单元法；多节点曲线索单元法；悬链线索单元法。

悬链线法与抛物线法相比，由于拉索具有悬链线特性，更加贴合实际情况，在斜拉索索长较长或应力水平较低时也能精确计算拉索索形[11]。

与其他有限元解法相比，基于悬链线解析法推导出的悬链线索单元法，具有广泛的通用性和更高的精度。在采用悬链线索单元进行有限元分析前，需要确定斜拉索的无应力长度作为悬链线索单元的计算参数，因此采用悬链线解析法求解斜拉索索形是大跨斜拉桥设计的前提。

1 悬链线解析法求解索形

斜拉索在自重及张拉力TA、TB作用下，其线形如图1所示，图1中取梁端锚点A为坐标原点，梁端锚点处张拉力为TA，其水平分力为HA，斜拉索单位长度重力为g，拉索上任一点(x，y)的拉力为T，其竖直分力为V，水平分力为H。

图1 斜拉索在自重及张拉力作用下的线形

根据文献[12]介绍的采用悬链线解析法求解斜拉索参数的方程，对于图1中斜拉索可得出的主要公式如下。

斜拉索线形方程

(1)

斜拉索上任一点(x，y)的切线斜率

(2)

斜拉索的有应力索长

(3)

斜拉索的伸长量

(4)

式中L0——斜拉索无应力长度；

E——斜拉索弹性模量；

A——斜拉索截面面积。

斜拉索的无应力长度

L0=L-ΔL

(5)

2 结合实际锚固构造求解索形

悬链线方程是超越方程，求解困难，文献[12]提供了斜拉索各参数的计算公式，理论上可以得出斜拉索索形的精确解，但未给出求解悬链线方程的具体求解办法。

此外，工程中耳板式连接、锚拉板、钢锚箱、钢锚梁、预应力齿块等锚固构造的实际锚点与理论锚点位置通常不重合[13-20]，将理论算法应用于实际结构设计存在一定难度，因此本节主要研究基于实际锚固构造的斜拉索精确状态求解办法。

2.1 竖直索面斜拉桥索形计算

对于竖直索面斜拉桥，在合理成桥状态确定后，其物理特性，拉索理论锚点间的水平距离D，竖直距离H，梁端与塔端张拉力TA、TB为已知量。

梁端拉索实际锚点与理论锚点间的高差c、塔端拉索实际锚点与理论锚点间的水平距离差d根据采用的锚固构造形式，结合主梁、索塔的空间布置情况确定。

拉索实际锚点间的水平距离b、竖直距离h、梁端拉索切线倾角α、塔端拉索切线倾角β均为未知量。斜拉桥合理成桥状态下的拉索线形如图2所示。

图2 斜拉索在合理成桥状态下的线形

根据图2可知，塔端实际锚点B的坐标，即斜拉索梁端与塔端实际锚点间的距离有如下关系

b=D-c/tanα-d

(6)

h=H-dtanβ-c

(7)

α、β分别为式(6)与式(7)中的唯一未知量，而β可根据α通过式(2)求得。因此定义函数b=f(α)、h=g(α)，代入式(1)

cosh[sinh-1(tanα)]}

(8)

将式(8)做变换，则有

(9)

式(9)中的未知量α可根据割线法进行迭代计算，对于迭代终值α，应有F(α)=0，具体计算步骤如下。

(1)估算梁端拉索切线倾角的迭代初值α0、α1，α0=tan-1(H/D)，α1=0.995α0。

(2)将α0、α1依次代入式(6)、式(2)、式(7)计算函数f(α0)、f(α1)、g(α0)、g(α1)，再根据式(9)分别计算F(α0)、F(α1)。

(3)若F(α1)满足精度要求，则结束计算，将α1作为迭代终值。迭代目标决定计算精度，可由设计者根据实际情况自行定义，迭代目标越接近0计算精度越高。

(4)若未满足精度要求，根据割线法预测α的新值α2，α2=α1+(0-F(α1))(α1-α0)/(F(α1)-F(α0))，并计算F(α2)，判断是否满足精度要求。重复此步骤直至F(αn)满足精度要求。

(5)α确定后，便可通过式(1)、式(2)、式(6)、式(7)求解塔端的实际锚点坐标及塔端拉索锚固结构倾角β；根据式(3)～式(5)分别求解斜拉索应力索长L及无应力索长L0。

迭代流程见图3。

图3 迭代流程

2.2 倾斜索面斜拉桥索形计算

与竖直索面斜拉桥不同，倾斜索面斜拉桥梁端理论锚点与塔端理论锚点在横桥向的投影存在水平距离差F，斜拉索线形如图4所示。

图4 倾斜索面斜拉桥索形

梁端理论锚点与塔端理论锚点在顺桥向的距离差D和横桥向的距离差F为已知量，根据勾股定理求得直线CE长后,便可将倾斜索面的索形求解问题转换为面CEG内的竖直索面求解问题，进而通过2.1节介绍的迭代方法求解梁端与塔端的实际锚点、锚固结构倾角、无应力索长等。

2.3 算例

以某千米级斜拉桥为例，选取3根斜拉索采用本文介绍的求解方法，对其索长、无应力索长以及斜拉索在梁端、塔端的倾角进行计算，相关已知参数见表1，将|F(α)|<0.000 1作为迭代收敛条件，以此为基础开展计算，迭代计算过程及结果见表2。

表1 某千米级斜拉桥已知参数

本例设定的迭代终止条件较为严格，可满足绝大部分工程的设计需求，由实际计算过程可知迭代收敛速度快，在第四步迭代后3根拉索的F(α)便达到迭代目标，因此本文提出的斜拉索索形计算方法具有较高的计算效率。

表2 迭代计算结果

3 结论

针对工程中结构实际锚点与理论锚点不重合的情况，对斜拉索索形的计算方法进行研究。结合实际锚固构造，提出在斜拉索张拉力、斜拉索规格已知时求解斜拉索线形、无应力长度的迭代计算方法，并以一个算例演示了计算过程。主要得出以下结论。

(1)从工程实际出发，综合考虑了梁端、塔端锚固构造的影响提出了一种斜拉索索形计算方法，对于大跨度斜拉桥设计、施工具有一定的参考价值。

(2)提出的斜拉索索形计算方法是基于悬链线解析法推导的，当迭代次数足够多时可以求得拉索线形精确解。算例中设置的迭代终止条件已可满足绝大多数工程的设计需求，可供设计者借鉴，同时设计者也可根据实际需要设置迭代终止条件进行计算。

(3)提出的斜拉索索形计算方法求解思路清晰，易于设计人员掌握；通过算例可知采用本方法计算迭代收敛速度快，计算效率高。