周振芳

摘要：数学教学中，若能选择一些比较“特别”（非普通）的例子，或者通过夸大、变形等方式使一般的例子发生变化，则有利于突出相关学习内容的细节特征，帮助学生走到数学知识的本质之处、数学学习的更深更广之处。以“认识长方体”“比较分数大小”“加法交换律”“认识乘法”“折线统计图”“认识平均数”等的教学为例来说明。

关键词：特例小学数学由特殊到一般

数学教学中，教师常常要通过一些例子帮助学生理解某些概念、原理和规律。但是，“普通”的例子只能一般化地说明问题，有时固化了的标准化的例子甚至还有可能使学生走入理解的误区或形成理解的盲区。若能选择一些比较“特别”的例子，或者通过夸大、变形等方式使一般的例子发生变化，则有利于突出相关学习内容的细节特征，帮助学生走到数学知识的本质之处、数学学习的更深更广之处。而且，这样的“特例”教学常常带有游戏般的趣味性。下面试通过具体教学案例来说明。

一、“认识长方体”的教学：“玩杂技”的长方体

“认识长方体”的教学中，教师通常要画一个长方体给学生看，还要让学生动手画一画，从而帮助学生认识长方体的各个面、各条棱，以及面与面、棱与棱之间的关系。这时，所画的长方体通常是这样的：一个面朝前（向人），一个面朝上，一个面朝右，而且朝上（及朝下）的那个面比较大，看上去比较稳当。无疑，利用这个长方体，可以引导学生认识长方体的各个面、各条棱，以及面与面、棱与棱之间的关系。但是，长方体只能是这个“标准”的样子吗？

一位教师在画“标准形”的基础上，让学生画一些特殊的长方体：让“标准”的长方体翻转90°，以一个侧面作为底面;让“标准”的长方体旋转一定的角度;以一条棱作为支撑，让“标准”的长方体“立”起来……种种变化了的位置增加了作图的难度。学生头脑中反复出现“对面两两相等”的作图要求，还要结合绘画方面的透视规律，争取把长方体画得“像”一点。在动手操作的过程中，强化了“六个面对面两两相等”的特征，理解了长方体的构造。

然后，教师加大难度：“以一个角作为支撑，让‘标准的长方体‘立起来。”这不是在“玩杂技”吗！如何画呢？一位学生说：“其实不用画，把纸转过来看就行了。”其他学生赞同。可是，把纸转过来后，怎么看也不像在“玩杂技”。是眼睛骗了自己，还是这个方法有问题？教师取出一块长方体木块，用釘子将其一个角固定在桌面上，说：“还是相信我们的眼睛，老老实实地把看到的长方体画下来吧。”学生眼中看着，手上画着，脑子里想着，然后交流和讨论，有的还争论着：“这像什么呢？”“你画得不像啊！”“怎么不像呢？应该这么看！”……这些有别于“标准形”的各种其他样子，有助于学生全面、深入地认识长方体，把握长方体的特征和构造。

最后，教师画了一个方框，问：“这是什么？”一位学生说：“是长方形。”另一位学生说：“是长方体。”又一位学生说：“可能是长方形，也可能是长方体。”学生的思路渐渐开阔，他们对长方体的认识不再限于眼前可见的范围，而能神游于三维空间中全面、深入地观察。这种空间想象能力正是数学教学需要着力培养的。

二、“比较分数大小”的教学：“大数据”的魅力

“比较分数大小”的教学后，学生学到了不少方法：分母相同时，分子大的就大;分子相同时，分母大的就小;分子、分母不同时，可以转化成分子或分母相同;取一个中间数，分别与之相比，再确定大小……

正当大家沾沾自喜，利用学到的方法应对所有的题目时，教师给出一个有点特别的题目：分母为12345678910、分子为10987654321，比较这个分数与1013的大小。学生平时几乎没有见过这样分子、分母数字特别多的分数，这时就像看到外星人一样兴奋起来。“小数据”比较大小相对容易，有的一眼就可以“看”出来，而不必通过计算。这样的“大数据”如何去比？眼尖的学生还是有了发现：1013的分母、分子末位后添“0”至与“大数据”分母、分子数位相同，相比于“大数据”，分母扩大了一点，分子缩小了一点，所以分数缩小了一点。

教师再出一题：第一个分数的分母为672873643345、分子为29384769862，第二个分数的分母为683837264737、分子为2989283746。也是“大数据”，而且后一个分数比前一个分数看上去分母、分子都大了一点，如何去比呢？有学生细细一数，就发现问题了：后一个分数比前一个分数分子少了一位，这就不是一点点的差别了，结论是后者比前者小。

教师又出了一题：第一个分数的分母为82736463、分子为42839483，第二个分数的分母为48574636938、分子为23483736253。还是“大数据”，而且两个分数分母、分子位数都不相同，这带来了比较上的困难。有学生提议用计算器算一下，马上遭到否定：老师不可能出这种“笨”题目。经过观察思考，果然有“聪明”的办法：找中间数12，前者比它大，后者比它小，所以前者比后者大。这里不只是在比较，而且有“推理”的思想。

……

因为数字大，所以有很大的出题空间。最后，教师让学生自己出一些类似的题目，同桌互相考一考，并且回去考一考爸爸妈妈。学生来劲了，出了不少题目：3928740001与3298744444、3300330087654321与4400440081234567、555555666666与555554666665……学生互相考了起来，还延伸到课外，像游戏一样玩了起来。这些题目，有的藏着一定的技巧，有的则纯粹是数字大。但是，无论是出题，还是解答题目，都需要综合各种能力，全面运用分数及分数大小比较的各种知识。这样的教学可以说是分数大小比较很好的“综合与实践”活动了。

三、“加法交换律”的教学：神秘的“布袋”

“加法交换律”的教学中，对于“5+6”与“6+5”的结果是一样的，教师通常这样解释：先数5再数6与先数6再数5，结果是一样的;无论哪个数在前，把另一个数接上去，并起来，总数都是11。这样一讲，学生通常也能明白“5+6”与“6+5”是一回事的道理。那除了“说”给学生听，还有其他方法吗？

一位教师用“布袋”代替算式，跟学生玩了起来。在一个小布袋里放5颗玻璃球，在另一个小布袋里放6颗玻璃球，再把两个小布袋放进一个大布袋，问道：“里面有几颗球？”学生回答：“11颗。”把布袋翻动几下，问道：“现在里面有几颗球？”学生回答：“11颗。”再翻动一下，问道：“现在呢？”“还是11颗。”又动了一动：“现在5颗在前面啊！”“11颗。”继续动了一动：“现在6在前面啊！”“11颗。”……“为什么一直是11颗呢？”学生笑了：“怎么可能不是11颗！又没有哪一颗跑出布袋。”教师说道：“对！不管我如何翻来动去，不管5与6处于哪个位置，它们合在一起的结果是不变的。这就是加法交换律。”这里，教师用“布袋”这个特殊事物代替算式，在不断翻动的过程中，强化学生的认知：两数相加，不管位置谁先谁后，总数永远不变。

事情还没有结束，教师又往大布袋里塞进几个小布袋（各个小布袋里的玻璃球数分别为2、7、8、10）后问道：“现在里面一共有几颗球？”学生回答：“38。”教师“故技重施”，不断地翻动布袋，让6个“数”的位置不断变化，边翻边问学生里面有几颗球。学生成了“问不倒”：“这6个数随便怎么排序，总数38不变。”在这样的活动中，学生理解了加法交换律的本质：只要是加法运算，无论几个数相加，不管数的位置谁先谁后，总数不变。而且，学生对加法的认识没有停留于两数合并，而是提升到整体与部分的关系——加数就是部分，和就是整体。以后遇到加法交换律，学生的眼前就会出现老师翻动布袋的形象。这一形象无疑是美好的，会伴随学生很长时间，甚至是一生。

四、“认识乘法”的教学：“纸”的边界

“认识乘法”的教学中，教师给每一位学生发一张边长为4厘米的正方形纸。

课上，教师课件出示3串葡萄，每串有6颗，让学生把加法算式写在预先发的正方形纸上。这难不倒学生，学生一会儿就列出了算式6+6+6，有的还算出了结果18。

接着，教师课件出示的葡萄不再是几串，而是一片。学生1、2、3、4……数了起来，发现一共有48串。教师让学生还把加法算式写在刚才那张正方形纸上。学生普遍感到有困难，觉得这小小的纸写不下那长长的算式。教师说道：“能写多少就写多少，看谁写得最多。”学生开始写加法算式，尽量写得小一些，以便能多写几个数字，但是，谁也无法把48个6全部写出来。

学生书写完毕，教师说道：“这48串还不算多呢！如果是480串、4800串、48000串，那要多大的纸才能写下相应的加法算式？而且，纸再大也是有边界的，加法算式则可能没有边界。不過，是否可以让加法算式做一下改变呢？”学生稍加思考，教师切入正题：“今天我们来解决这‘写不下的问题。”板书“乘法”，接着说道：“上述48个6相加，可以写成6×48。”学生明白了：6×48表示48个6相加。同时，切身感受到乘法的优越性。

这里，教师通过48个6相加这个“特别长”的加法算式，带来了“写不下”的问题，引发了学生的困惑，让学生在“解决问题”的过程中认识到：乘法原来是在加法的基础上产生的，是因为需要而产生的。

之后，教师进一步引发学生下一阶段学习的期待：“乘法不仅能解决加法‘写不下的问题，还能解决加法算起来的麻烦呢！”

五、“折线统计图”的教学：无限风景在“线”中

“折线统计图”的教学中，教师课件出示当地气温的折线统计图，其中横轴表示一年12个月，纵轴表示每个月的平均气温，但图线是处于纵轴零刻度附近没有高低变化的“直线”。这让学生十分疑惑，因为这与他们的生活经验明显不符。

这到底是怎么回事呢？教师揭秘：“是刻度单位捣的鬼。纵轴上每一格（1厘米）为1000度，一年中每月平均气温最低与最高约50度的温差，在1000度的刻度单位中就显得比较小了。如何之‘小呢？同学们可以算一算50度占1000度的多少。”“501000相当于5100。”“1000度相当于1厘米，那么50度相当于0.05厘米，即0.5毫米。”“难怪看上去是一根‘直线了。”

“其实，这根‘直线里包含着上下50度的气温变化，只是刻度单位太大，导致50度的气温变化无法‘曲折地表示出来。”现代信息技术给教学帮了大忙，教师每点一下鼠标，纵轴的刻度单位就减少50度，学生看到“直线”慢慢变成折线，折线起伏变化越来越大。纵轴的刻度单位减少到50度后，教师继续点击鼠标，纵轴的刻度单位在1度1度地变小，学生看到折线起伏变化慢慢大到有些夸张的程度，似乎超出了自己的生活经验。于是，教师又点击鼠标，纵轴的刻度单位开始1度1度地变大，直到学生觉得折线的起伏变化看起来比较舒服了。

这是一根特殊的“线”，里面藏着无穷的奥秘;在缩小和放大的变化中，学生感受到折线统计图的魅力，享受到数学学习的乐趣。这是一张“活”的折线统计图，学生可以微观地看它，也可以宏观地看它，还可以看到它由“小”到“大”、由“大”到“小”的种种变化，从中认识到：折线统计图是服务于人的，人们可以根据观察、研究、生产、生活的需要，对其“曲折度”做适宜（审美）的调整;数学来自生活，用于生活，又具有不同于生活的抽象性，正因为抽象，才更为自由，才可以“走得更远”。

六、“认识平均数”的教学：一碗糖和一滴水

“认识平均数”的教学中，有学生总是搞不懂“一班的平均分是80，二班的平均分是84，为什么两班的总平均分不是82”。

教师不讲“什么是平均数”“平均数怎么求”等抽象的知识，而是做了一个夸张的假设：“一班1人，二班100人。想一想：这101人的平均分会是82吗？大概是多少？为什么？”这一“特例”带来的环环相扣的“三问”把学生的思维引向了深处：“显然不是82，而是非常靠近84的一个数。因为100人把1人的分数拉上去了。其求法是（80×1+84×100）÷101，而不是（80+84）÷2。”

为了巩固提升学生的理解，教师又举了一个生活化的例子：“在一碗甜度是100的糖水里加一滴甜度为0的水，甜度改变了多少？”学生凭借生活经验知道，一滴水对一碗糖水的影响是微乎其微的，合起来的甜度几乎还是100。这与前一例的原理一样的，或者说是前一例的“糖水版”。教师又问：“如何使甜度变为50？”由结论反推条件，常常会使一些问题看得更加清楚、明白。这时，问题已经难不倒学生了，他们认为：加同样的一碗水，平均甜度除以2，就变为50了。

教师继续往前回溯：“一班的平均分是80，二班的平均分是84，在什么情况下，两个班的平均分是82呢？”同样的道理，答案是“两个班人数相等”。这样，学生在条件与结论之间不断来回，对平均数的“理论”不再感到疑惑。