广东省恩平市年乐夫人学校

1 原题呈现

题目如图,抛物线y=ax2+bx+x与x轴的交点为A(-6,0),与y轴的交点为C(0,3),且经过点G(-2,3).

(1)求抛物线的表达式;

(2)点P是线段OA上一动点,过点P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设ΔCPQ的面积为S,求S的最大值;

图1

(3)若点B是抛物线与x轴的另一交点,点D、M在线段AB上,点N在线段AC上,∠DCB=∠CDB,CD是MN的垂直平分线,求点M的坐标.

2 题目分析

本题考查的知识主要有,待定系数法求函数解析式、二次函数的基本性质和综合应用,三角形中位线、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质等知识点.在(2)中设出P点坐标,用代数式表示出PQ的长,然后引导学生求ΔCPQ的面积,实际上就是求S梯形QP OC与SΔP OC的差.同时注意函数性质的应用.在(3)中推算出DM=DN=12BC是解题的突破口.

3 题目解答

(1)把A、C、G三点坐标代入抛物线解析式,可得

点评本题考查知识点较多,综合性质很强.在解题时,先利用待定系数法,把A、C、G三点坐标代入可求得抛物线解析式.

(2)因为C(0,3),所以,可设直线AC解析式为y=kx+3.把A点坐标代入,可得0=-6k+3,解得所以直线AC解析式为

点评在(2)中设出P点坐标,用代数式表示出PQ的长,然后引导学生求ΔCPQ的面积,实际上就是求S梯形QP OC 与SΔPOC的差.再结合二次函数的性质可求得S的最大值.

点评第(3)问由条件可求得可求得点D为AB的中点及坐标有∠DCB = ∠CDB和CD是MN的垂直平分线,可证明DN//BC 得出DN为ΔABC的中位线,所以从而得点M的坐标.

4 变式训练

变式训练1在(2)的条件下,延长直线PQ 交抛物线于点M,线段MQ 会不会存在最大值,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理……