四川省成都市树德中学

2018年12月2日,笔者参加了在桂林举行的“第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”,因出色的表现获得了“示范课现场展示证书”.章节引言课的教学实践案例少,可借鉴资料有限,尤其在西部,教师几乎不予理会.为了突破固有的常规课范式,同时还紧扣核心素养的培育,在切实关注本校实际教育教学情况的基础上,笔者大胆对此课型作了尝试.笔者以《数列引言》为展示课题,得到了与会老师们的一致好评,人民教育出版社副编审龙正武老师在点评环节特别赞赏了该课的大胆创新与设计环节的精到,他认为该课文化素材的选取与融合、学生的主体作用的发挥、问题的引领、目标的达成均可圈可点,是一个比较成功的引言课教学范例.现将这节课呈现前后的一些思考整理成文,与同行们交流,不妥之处敬请指正.

1 章引言课的地位与功能

章引言是一章学习的起源,它是高中数学一个章节、一个知识板块教学的第一课时.在这一课时中,教师往往要取材于章头图、章节引言,关注数学的发展过程,把握高中数学知识的整体结构,结合学生的实际认知水平,设计合理的问题导引,带领学生建构本章的主要知识脉络,揭示本章的基本思想方法,唤起学生对本章学习的热情.章引言课是高中数学教学中必不可少,又是需要重点关注的课型之一.

2 文化的理解与素材的选择

百度百科上给出了数学文化的定义.从狭义上看数学文化指的是数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展.从广义上理解,数学文化除上述内涵以外,还包含数学家、数学史、数学美、数学教育,数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等等.

为了在数学教学中体现相应的数学文化,笔者在该课的设计上下足了功夫,文化素材的选择既有来自于数学内部的发展,也有源于学生生活实际的改编.该课恰如其分的使用了文化素材,既挖掘了文化的内涵,也积极地引导和激发了学生的学习心向;笔者在课堂中注重对学生的人文关怀、对数学教学中真、善、美的追求,力图使学生在数学学习过程中真正感受到数学思想方法、数学家的理性精神、我国的古典文化,以期在文化和数学之间的对话中提高学生的思想境界和文化修养.

数学教学通过文化的渗透使学生喜爱数学以后,下一阶段就是发展学生的思维,不仅是分析、解决问题的思维,也包括对于学习的思考和领悟.核心素养的落地需要在关键能力上有所突破,学会学习无疑是其中最重要的关键能力之一,但这样的关键能力的培养绝不是口头上的套话,而应是有切实的实施方法和辅助工具的.本课中,笔者以思维导图贯穿始终,就如何培养学生学习的能力做了很好的示范和尝试.

3 教学过程设计

本课的教学环节拟分为“明、引、悟、结”四个环节,各个环节的教学流程及大致时间分配如下:

图1 以情境为载体,以活动为主线

3.1 开宗明义

问题函数章节的知识大致分为几个板块?

设计意图:引导学生类比函数,关注并构建数列的知识网络图,启发学生在学习前后都关注知识结构图.

3.2 为什么学

情境1刻画离散现象的模型举例(数学界的“地震”)

9月24日,年近九旬的菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主迈克尔阿蒂亚在海德堡宣讲了久负盛名的黎曼猜想的证明,期间费马有如下的猜测:

(1)Fn=22n+1,由于F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,故费马认为:当n取自然数时,Fn都是质数.

(2)黎曼猜想:用以刻画质数分布的精确规律.

设计意图以数学界的“地震”为切入点吸引学生的注意力,调动了学生学习的积极性,为引入数列的必要性铺垫了良好的氛围.融入质数规律的认识历程,学生在感受数学发展的坎坷的同时,也一定程度上认识到数学的本质,并借助数学家对真理的执着追求感染学生对学问孜孜以求.

情境2八戒与悟空的故事.

八戒与悟空相会在纪念西天取经十周年的庆典上,两人推杯换盏、促膝相谈,且在午夜子时就签订了一个合约,合约的内容是在接下来的三十天,悟空第一天付给八戒21 万,且以后每天所付的钱数都比前一天多一万,而八戒只需在第一天付给悟空一万,且以后每天所付的钱数都是前一天的两倍,做着富翁梦的八戒,却不幸破产了.

设计意图联系学生的实际生活情境,编撰了悟空与八戒的金融故事,并通过多媒体动态演示故事,为数列概念的了解和进一步研究问题作铺垫,并设置悬念,激发学生学习的热情.

3.3 学什么与怎么学

问题1-1请写出情境2中,八戒与悟空每一天所收入钱数对应的两列数?

问题1-2问题1-1中写出的两列数,每列数中的任意两个数之间能否调换顺序,为什么?

设计意图通过不同素材的体验,学生初步感悟数列的概念,引出数列的符号,在类比集合的表示给出数列的简写的同时,揭示数列的内涵:列数,并为后续深入研究作好铺垫.

问题1-3你能利用函数的知识解释八戒为什么会破产吗?

设计意图联系学生已有知识,引导学生进行数列与函数的关系研究,在将现实问题“数学化”的过程中养育学生的抽象素养.期间,利用图象解释其离散性,通过追问引导学生认识到数列的定义域是引起这种特殊性的根源,从而揭示数列的外延:数列是特殊的函数.

思考1情境2中涉及的两个数列{an},{bn}分别为21,22,23,···,50 与1,2,4,···,229,类比函数,你还有什么方法刻画这两个数列的变化规律?

设计意图深刻体会数列是离散的这一特性并引出刻画数列规律的第一种方式—-通项公式.

问题1-4你能量化地利用数学的一个不等式解释八戒破产吗?

设计意图将学生的认识引向深入,带领学生认识数列的和,顺势引出刻画数列规律的第二种方式—-前n项和.

练习已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若通项公式an=1,则其前n项和Sn=___

(2)若通项公式an=n,则其前n项和Sn=_____

(3)若前n项和Sn=1,则其通项公式an=____

(4)若前n项和Sn=n,则其通项公式an=___

设计意图巩固得到的刻画数列规律的两种方式,体会这两种方式之间的联系,并初步建立本章的知识、方法网络.

思考2上述练习对你后续学习有何启示?

设计意图通过简单问题的探究恰好可以很切实的引导学生思考,同时也预知后续学习中可能出现的困难.

情境3(画画看)1 条直线可将平面分成2个部分,2 条直线最多可将平面分成4个部分,若n条直线最多可将平面分成an个部分,则a5的值是多少? 你有什么发现呢?

设计意图拾级而上,通过动手实验、交流讨论、反思总结,引出刻画数列的第三种方式—递推关系(相邻项)的同时对情境中的递推关系作出解释,引导学生进一步感悟数列研究中的递推思想,也为有效突出本章重点,突破本章难点作准备.

延伸1平面内n个圆,至多可将平面分成多少个部分?

延伸2空间内的n个平面,至多可将空间分成多少个部分?

设计意图通过问题延伸,实现引言课的功能之一,引出问题,为后续深入研究做好铺垫.

问题2你能用递推关系刻画八戒与悟空的收入对应的两个数列的变化规律吗?

设计意图运用递推关系再次刻画故事中数列的规律,使学生初步认识数列中的两种特殊数列模型:等差数列模型和等比数列模型,初步体会这两种模型在研究一般数列规律中的地位和作用.

情境4 欣赏与感悟

有人说:“大自然是懂数学的”,不知你注意过没有,树木的生长,向日葵花盘上种子的排列,某些花的花瓣数量都与1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89···这列数有关.我们来看个小视频.

设计意图将“章头图”、“章引言”、“数字之美”的视频融入其中,引出历史上著名的斐波那契数列,让学生感受数学文化、欣赏数学美的同时,增加学习的兴趣和信心.

问题3你能用什么方式刻画与情境4 有关的数列1,1,2,3,5,8,13,21,···的变化规律?

思考3 此问题你还可以延伸出什么问题?

设计意图进一步体会递推关系在认识数列规律中的特殊地位,感悟递推思想.

3.4 小结与延伸

3.4.1 课堂小结

问题4-1你能完善一下本课的思维导图吗?

设计意图引导学生学会用思维导图梳理知识、构建体系,从而对本章的知识、方法有一个整体的认识,进而在结构体系中体会数学的本质.

问题4-2本课学习对你的数学学习有何启示?

设计意图使学生学会反思,在反思中发展能力的同时拓展学生的视野,为后续学习做好知识和心理上的准备.

3.4.2 课后检测与延伸

1.右图中的三个正方形块中,着色正方形的个数构成一个数列的前3 项,请写出该数列的一递推关系?

图2

2.尝试解决课堂中的思考题及延伸问题.

3.查阅资料了解斐波那契数列在现实生活中还有哪些应用,感兴趣的同学可以思考如何利用递推关系推导斐波那切数列的通项公式?

设计意图将课堂内容延伸到课外,在检测学生对递推关系的理解和应用的同时,感悟数学文化,为研究数列的核心问题伏笔.

4 教学反思

结合该课例的课堂教学实践和反思,笔者认为章引言课的设计应该主要从以下三个方面布局、润色、发力.

4.1 浸润传统文化、渗透数学思想、发展数学核心素养

课堂中洋溢的数学文化气息不应是刻意附庸,而应是教学中不可或缺的文化元素,并且适当的渗透有利于养育学生的人文素养.数列是刻画自然规律的基本数学模型,课堂中适度安排学科发展前沿问题、传统文化相关内容能够让学生体会数学发展的过程,养育学生数学的数学素养.

4.2 章引言课的设计关键在于“引”和“种”

章引言课的设计要在“引”和“种”上下功夫.一方面要能引起学生的兴趣、引发学生的共鸣、引出学生后续学习中可能出现的困难.这就需要从素材、情境、问题上入手,素材的选取要能引发学生学习的热情,情境的设置要能引出本章的内容和方法,问题的设计要有利于引领本章关键问题的研究.另一方面,玩数学就是玩概念,厘清了数学的概念就是抓住了数学的核心与本质,引言课也不例外.在引言课的设计中注重概念深种,注意概念教学的各个环节,关注概念的情境创设以及新旧概念的联系等,可使引言课更具特色.

4.3 实现教材中“章头图、旁白和阅读材料”等素材的教育价值和作用

作为引言课,对时下的数学发展、我国的经典文化及教材中“章头图、旁白和阅读材料”的整合是很有必要的,这些素材是搭建新旧知识之间联系的桥梁、是实现数学育人的纽带、是激发学生学习兴趣和热情的催化剂,比如本课在介绍数列学习的必要性部分借用了费马对质数的猜测、数学家对质数的研究历程激发学生学习的兴趣.另外“章头图、旁白和阅读材料”还可以很好的引导学生回归教材、研究教材,从而培养学生的创新精神,发展学生的能力,提升数学核心素养.