孙传松，张东焕，周继磊

(山东理工大学 交通与车辆工程学院, 山东 淄博 255049)

面对材料力学教学体系的改革，对于传统的材料力学四大实验，在创新实验的新环境背景下，显得孤木难支[1]。故学生实验教学形式需要进一步改进，尤其是新形式的创新性实验和多角度校核的要求显得更为迫切。

针对上述问题，国内诸多学者从不同角度和形式对弯曲梁实验进行了研究和拓展，其中包括理论与实验的校核、材料力学与弹性力学解的对比[2]、实验与有限元仿真的结合、不同梁与不同加载形式的丰富组合等等。陈玉骥[3]推导了单跨超静定梁在均布载荷作用下的弹性力学解析解，利用半逆解法，求出研究对象的应力和位移。张伟等[4]就集中载荷作用下两端固支的超静定梁进行了弹性力学解的推导，利用半逆解法研究了弯曲梁的应力和位移的多项式解，为工程设计以及弹性力学教学提供了重要参考。何晓婷等[5]就不同模量简支梁在均布载荷下的弹性力学解进行了推导，研究表明，不同的弹性模量，应力分布差异较大，且材料力学中的最大正应力会被低估。鲁华宾等[6]通过有限元软件Abaqus对纯弯曲梁进行了实验模拟。王晓琴等[7]研究和推导了均布载荷作用下悬臂梁的弹性力学解，研究表明，与弹性力学理论解相比，材料力学对于深梁的计算结果存在较大误差。卢玉林等[8]就中间受到集中力作用时的弯曲梁正应力进行了理论推导和实验研究，不仅对材料力学解进行了校核，更加深了学生对理论公式的理解。Eroglu[9]对功能梯度材料(FGM)制成的平面弯曲梁任意平面内的偏转进行了研究。Anup等[10]应用Euler-Bernoulli理论的运动学假设分析双向功能梯度(FG)圆形梁的弯曲。蔡瑜玮[11]对材料力学实验教学改革进行了有益探索，阐述了学生为主体、教师为主导的观念，让学生自主性开发组合设计实验的形式。通过以上的研究和探索不难发现，目前对材料力学弯曲梁实验，越来越注重多角度校核和新形式的探索。

本文从现有的最普遍的弯曲梁实验器材出发，以传统的纯弯曲梁实验为例对传统纯弯曲梁实验设备进行改造，设计横向力四点弯曲梁的物理模型。通过推导任意载荷位置下梁的弹性力学解析解、ABAQUS数值仿真的模拟值与实验结果进行校核[12-13]，分析梁在移动载荷作用下的应力、应变分布情况，为进一步了解空间梁的力学特性提供帮助。

1 模型的建立及解析解推导

将现有纯弯曲梁实验的仪器进行改造，由原来加载位置不变的两个对称横向力变成可以任意移动的非对称横向力。实验通过移动连杆完成对梁上不同位置的载荷施加，实现梁中间位置的应力状态由纯弯曲状态到横力弯曲状态的转变，且可自主改变载荷加载位置，测量设备示意图如图1所示。

图1 测量设备示意图

图2 横力四点弯曲梁的物理模型

假设梁的长度为l，截面高度为h，宽度为k，加载的载荷为P。横力四点弯曲梁的物理模型如图2所示。依据正应力边界条件，切应力在y=±h/2时大小为零，故设应力函数为φ=xf1(y)+f2[14]，将其带入相容方程4φ=0，得到待定函数

(1)

由(1)式得到每一段梁应力的应力函数表达式为

φ=x(Aiy3+Biy2+Ciy)+Hiy3+Kiy2

(2)

根据载荷所加载的位置，将横力四点弯曲梁分为3段，其中每一段梁载荷施加处的应力函数分量为通式。待定系数利用下标i代表梁的位置，实验中A处载荷作用点在x=a处，B处载荷作用点在x=l-b处，故i= 1，2，3，其每一段梁应力函数的应力分量表达式为

(3)

载荷加载处的切应力如图3所示，其各处的受力关系为[8]

图3 A、B两处受力点的状态

(4)

在图2所示的物理模型中，无论施加的力在何处位置，梁的上下两面的切应力均为零，即切应力在y=±h/2时大小为零。因此3段梁应力分量的待定常数Bi=0,Ci=-3kh2Ai/4 应是一致的，由此可推出3段梁中应力函数的系数为

(5)

每段应力分量就可以化简为

(6)

最后获得简支梁集中载荷下的理论应力解为

(7)

(8)

(9)

当a=b，且l>2a时，即纯弯曲实验,得

(10)

(11)

(12)

由公式(7)～(12)可知,当梁受距离两端相等的两个力时，在x=a或者x=(l-b)时正应力相等且最大，与梁在x=a～(l-b)段的正应力保持一致，切应力为0。即

(13)

当l=2a时，即该简支梁仅在l/2处受一个力，该处的正应力表达式与公式(10)～(12)完全相同。证明该弹性力学正应力公式与材料力学最大正应力公式

(14)

完全吻合。

2 数值、实验验证与误差分析

为了更好地分析物理模型测试点的应力分布情况，通过实验研究和数值模拟进行验证。

实验试样为低碳钢，材料属性和尺寸见表1。采用图1所示实验形式，取a=150 mm，b=100 mm，加载机构对弯曲梁依次加载500 N、1 500 N、2 500 N、3 500 N、4 500 N的载荷。应变片的位置处在梁的中间位置(如图2所示)，其具体位置见表1。取梁的中间截面为研究对象，应变片处获得的实验数据见表2。

采用本文推导的理论解析公式得到该处的应力情况。

表1 梁的材料属性、尺寸及应变片位置Tab.1 Beam material properties, dimensions, and strain gauge locations

材料弹性模量E/GPa高度h/mm宽度k/mm距离l/mm应变片至中性层的距离/mmY1Y2Y3Y4Y5低碳钢21040205000-101020-20

表2 实验数据Tab.2 Experimental data

载荷/N电阻应变片读数Y1Y2Y3Y4Y5PΔPεdΔεdεdΔεdεdΔεdεdΔεdεdΔεd500110-11-24231 5001 0000-13828-40-29-81-5676532 5001 000006426-69-29-138-56131553 5001 0000-19127-96-27-195-57185544 5001 0002211827-125-29-251-5623955Δ-P=1 000Δ-ε1=0Δ-ε2=27Δ-ε3=-28.5Δ-ε4=-56.25Δ-ε5=54.25

下面通过有限元软件ABAQUS 6.14对上述实验结果进行模拟，模型材料为低碳钢，泊松比为0.3，长度、宽度、高度参数见表2。在集中力施加处设参考点，将受力处节点设置为结点集并均匀地耦合在参考点上。模型的右端在中性层处施加铰接的边界条件，左端中性层部分施加限制2、3方向的转动与平动的边界条件。在施加载荷处施加2方向-P/2=-500 N的力。网格采用结构型网格画法，C3D20R单元:二十结点二次六面体单元。所得结果如图4所示。

图4 模型正应力分布图

取中间中性层为对称面，在Y轴方向上下各采集4个节点进行数据与绘图分析，结果如图5所示。

将实验结果、理论解析与数值模拟进行汇总和比较，结果见表3。由表3可知，横力四点弯曲梁的物理模型理论解析解结果与模拟仿真结果误差近乎0%。理论结果、数值结果与实验结果除中性层外平均误差为2.3%。证明了该实验理论的正确性。

图5 应变片横截面数值模拟

表3 三者结果对比及误差分析Tab.3 Comparison of expenimental,theoratical and numerical results and error analysis

应变片位置Y4Y3Y1Y2Y5实验结果/MPa-11.39-5.6705.9911.87理论结果/MPa-11.72-5.8605.8611.72数值结果/MPa-11.72-5.8605.8611.72误差(实验/理论)/%2.73.202.11.2误差(理论/模拟)/%00000

3 结束语

本文将现有受固定载荷作用的纯弯曲梁实验设备拓展为两处受移动载荷作用的横向力四点弯曲梁实验设备。推导了任意载荷位置下弯曲梁的弹性力学解析解，并通过数值模拟和实验验证了实验结果与理论推导结果基本一致。本研究丰富了材料力学弯曲梁的实验形式，完成了材料力学弯曲梁实验深层次的探究和认识，促进了学生对理论公式的理解，加深了学生对力学中各角度分析的意识，可为后续的力学相关实验教学提供参考。