广东省梅县东山中学 钟国城 514017

三角形中面积最值问题是高考数学的热点与难点内容.三角形面积最值问题全面而突出考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式、平面几何与解析几何等数学基础知识及解三角形、求函数最值等基本方法，又渗透了转化与化归、函数与方程、数形结合等重要数学思想，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.解三角形中面积最值问题在高考中主要以三种类型出现，下面分别对三种类型进行不同角度的分析，总结求解策略，以期对大家有所帮助.

类型一：已知三角形一边及其对角

例1（2014年高考全国I理16）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则△ABC面积的最大值为

思路1：利用余弦定理得到角A及b，c之间的等式，使用基本不等式与面积公式得到面积的最大值.

解法1：由a=2且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，得(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c，即b2+c2-a2=bc.由余弦定理得bc=4，由基本不等式得4=b2+c2-bc≥2bcbc=bc（当且仅当b=c=2时取等号），所以即△ABC面积的最大值为

思路2：利用正弦定理用角B，C表示边b，c，使用基本不等式、琴生不等式与面积公式得到面积的最大值.

思路3：利用正弦定理与面积公式，结合定理：“三角形内角和等于π”，把面积表示为关于角的三角函数，使用三角函数的性质求得面积最大值.

思路4：通过建立坐标系，引入B，C两点坐标，结合角A与边AB，AC所在直线斜率的关系，得到点A的轨迹，根据轨迹的特点求得面积的最大值.

如图1，以BC中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则有B( - 1,0) ，C(1 ,0).设A(x,y)，则当x≠±1时因为tanA=

思路5：利用正弦定理得到△ABC的外接圆，根据点A的变化与外接圆的性质求得面积的最大值.

图1

图2

评注：对于类型一，可以从五个角度入手，一是通过运用余弦定理得到边的关系等式，再利用基本不等式得到最值；二是通过正弦定理把边化为角，再利用基本不等式与琴生不等式得到最值；三是通过正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理，把面积最值转化为三角函数最值；四是通过建立坐标系，结合题设条件得到动点轨迹，再利用轨迹的特点得到面积的最值；五是通过题设条件发现三角形的外接圆为定圆，利用数形结合和圆内接多边形的性质，非常直观地得到三角形面积的最值，而且可以看出此种类型的背景是三角形的外接圆，充分利用外接圆的性质对于解题有事半功倍的效果.

类型二：已知三角形一边及其他两边关系

例2 （2008年高考江苏13）若AB=2，AC=2BC，则△ABC面积的最大值为

思路1：利用余弦定理和面积公式，把面积表示为关于边的函数，结合函数的性质得到面积的最大值.

思路2：通过建立坐标系，引入已知点的坐标，根据边的关系，求得动点的轨迹，再利用轨迹的特点得到面积的最大值.

解法2：以AB所在直线为x轴，边AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(-1,0)，B(1,0).设C(x,y)，则由整理得(x-3)2+y2=8(y≠0)，所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心，22为半径的圆（除去x轴上的点），如图3可知，点C到AB的距离的最大值为22，所以△ABC面积的最大值为

图3

评注：对于类型二，上述两种解法较为常见，一是通过余弦定理和面积公式把面积表示为关于边的函数，利用函数的性质得到最值，不过此法运算量大，运算过程较为复杂，容易出现错误；二是通过建立坐标系，利用解析几何的方法得到动点轨迹，通过数形结合与轨迹的特点得到三角形面积的最值.在△AnBnCn中，BnCn=an=a，AnBn+AnCn=bn+cn=2a，则点An的轨迹是以Bn,Cn为焦点，长轴长为2a的椭圆，其标准方程为如图

类型三：已知三角形周长及其中一边长

4，当点An与短轴端点重合时，点An到BnCn的距离最大，即Sn最大，此，即Sn的最大值为

图4

评注：通过对题目条件的分析得到点An的轨迹是椭圆，利用椭圆的性质求得Sn的最大值.由此可见，此种类型的背景是椭圆，借助的椭圆的几何性质进行解题非常直观有效.