林府标, 张千宏

(贵州财经大学数统学院，贵阳 550025)

1 引言

1.1 Riccati方程(1)的已知显式解析解

物理或工程等中的数学模型通常可归结为偏微分方程，这些方程的各种性质，如显式解析解等，特别是行波解可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播等．但由于非线性偏微分方程的复杂性和多样性，至今仍有大量的重要方程无法求出显式解析解，即使已经求出显式解析解，也各有各的技巧和方法，至今仍没有一般统一的解析求解方法．

直接构造非线性偏微分方程解析解最有效的方法之一为Tanh 函数法[1–3]，其算法的基本原理基于绝大部分有物理意义的非线性偏微分方程的行波解都可以表示成Tanh 函数的多项式，而广义的Tanh 函数法[1–3]核心思想是充分利用带有一个参数b 的Riccati 方程

进行反复计算，将含φ 的所有导数项转化成关于φ 的代数多项式，因此非线性偏微分方程的精确求解问题就可以转化成代数多项式方程根的探讨问题，从理论上说，求解一个非线性代数方程或方程组总比求解一个非线性偏微分方程相对容易．另外，利用Riccati 方程(1)的一个好处是参数b 的符号可以判断所得行波解的数量和形状．

众所周知Riccati 方程(1)具有三角函数和有理函数类型的显式解析解[3]．事实上用Matlab 易验证Riccati 方程(1)更具有表1 中的三角函数和有理函数类型的一般解．

表1: 带参数b 的Riccati 方程(1)的解，其中c1 ∈R, i2 =−1

另外，文献[4]给出了Riccati 方程(1)的十二种类型的显式精确解，为了方便研究和应用，将其结果列于表……