曹 明, 王 霞, 唐三一

(陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710119)

1 引言

随着现代工业和农业技术的迅速发展，大量的有毒物质和污染物被排放到生态环境中，已经严重威胁到自然界中物种的生存，导致许许多多的物种灭绝或者处于灭绝的边缘，甚至影响到人类自身[1]．环境污染问题日益严峻促使人们去研究环境中有毒物质对物种的影响和评估污染物给物种的生存带来的风险．因此，污染环境中物种的生存问题的研究变得越来越重要．

早在1980 年，一些学者已经研究了环境毒素对单种群的影响，例如，Hallam 和Clark[2]通过假设种群的增长率是线性依赖于物种吸收毒素的浓度研究了环境中出现的有毒物质对单种群的影响．李冬梅等人[3]研究了一类小容量污染环境中脉冲输入毒素对具有阶段结构的单种群生存问题，分别找到了种群生存与灭绝的阈值．He 和Ma[4]研究了污染环境中的Logistic 单种群模型的生存问题，考虑了生物个体从环境中吸收的毒素浓度和生物个体排泄到环境中的毒素浓度．但是，上述所有的文章中，都忽视了其他外界因素和生物个体将毒素输入到环境中去的问题．此外，很多文章没有考虑食物链中的毒素对种群的影响问题，为了研究这个问题，Luo 等人[5]提出了污染环境中的单种群模型

模型(M1)研究了生物体内毒素αC0(t)N(t)、环境毒素βCE(t)N(t)和种内竞争fN2(t)对种群数量的影响．生物体内毒素主要来源于从环境中吸收的毒素(kCE(t))和从食物链中吸收的毒素生物体内毒素也可以通过新陈代谢和排泄消除((g + m + b0−fN(t))C0(t))．然而模型(M1)仅考虑了比较特殊的种间竞争关系，不具有一般性，不能较全面的刻画出种群的动力学行为．为了研究这个问题，本文中，我们将对模型进行改进，提出污染环境中广义单种群模型，并利用平均积分法深入分析其动力学行为，从而得到更有普遍意义的结果，有利于模型的推广．

本文中，我们假设环境是一个均匀的完备空间，种群没有发生迁移并且假设种群中的生物个体间没有显著性的差异，建立一个既考虑了环境毒素又考虑了食物链毒素对生物个体的影响的更一般的单种群模型，来研究污染环境中毒素对种群生存的影响．在第2 节中，首先给出我们的模型、一些记号、预备知识和重要引理；第3 节中，给出我们的主要结果，即种群一致持久、平均非持久、平均弱持久和灭绝的充分条件，并得到平均弱持久与灭绝之间的阈值条件；第4 节中，通过具体例子来说明我们的主要结论，并利用Matlab 软件做数值模拟来验证我们的主要结果；最后，在第5 节中给出了结果讨论．

2 模型假设

为了刻画种群间的不同竞争关系，我们将模型(M1)中的线性竞争函数fN(t)改进成一般函数f(N(t))，从而得到如下更一般地污染环境中广义单种群模型

其中r0= b0−d0，表示没有毒素污染时候种群的内稟增长率，函数u(t)是一个定义在[0,+∞)上的非负连续有界函数，并且此外，我们还定义如下几个参数的形式[5]：

设模型(M2)初值满足

各参数含义如表1 所示．

这里，f(N(t))表示种内竞争关系且满足如下假设：

(A1): 函数f(N)关于N 满足局部Lipschitz 条件，关于N 可微，且对于任意N ≥0 函数连续；

(A3): f(0)

函数f(N(t))更具有一般性，能更全面的反映各种类型的种内竞争关系，因此，模型(M2)更具有一般性，从而能更好地刻画污染环境中单种群模型的动力学行为．

为了研究方便，首先介绍如下符号表示：

R+= [0+ ∞)表示自然数集；表示函数g(t)在区间[0,t]上积分的平均值；表示函数g(t)上确界极限；表示函数g(t)下确界极限；其中g(t)是一个任意函数．

同时给出种群一致持久、平均非持久、平均弱持久和灭绝的定义：

1) 对于任意初值N(0) = N0> 0，若存在常数0 < H1< H2< +∞，使得H1≤N∗(t)≤N∗(t)≤H2，则称种群N(t) 是一致持久的；

2) 若⟨N(t)⟩∗=0，则称种群N(t)是平均非持久的；

3) 若存在正常数K，使得0

在证明我们的主要结论之前，我们先给出几个重要的引理：

引理1对于模型(M2)，集合

是一个不变集．若假设条件(A1)、(A2)和(A3)都满足，则方程(M2)的任意解N(t)都是有界的．

证明 因为N(t) = 0 是模型(M2)中第一个方程的解，所以对于任意初值N(0) >0，都有N(t)>0, t ∈R+，很显然有

模型(M2)的解轨线在相空间中不能穿过任何坐标平面，所以

是一个不变集．

从假设(A2)，我们知道f(N)是一个增函数，因此存在一个正常数c1，使得f(c1) >r0．令c2= max{x0,c1}，如果对于N(t)中所有t 的存在区间，都有不等式N(t) < c2成立，则结论明显成立．现在假设N(t2) > c2仅对N(t)中t 的存在区间中的某些值成立，根据假设(A1)，必定存在一个t1且0 ≤ t1< t2，则有N(t1) = c2．所以对于任意t ∈[t1,t2]，我们得到N(t)≥c2，根据模型(M2)中第一个方程，有

这个矛盾意味着N(t) ≤ max{x0,c1}．因此，N(t)在定义区间上是有界的，所以N(t)是定义在R+上的．

其中ε<δ

由于ε 的任意性，f(N)是连续函数，上述不等式意味着当t ∈R+时，有

由模型(M2)中第一个方程，可得

考虑如下方程

由于模型(M2)中第一个方程有一个正稳定平衡点因而对于任意ε > 0，当t ∈R+时，有

根据比较定理可知

根据引理1，我们知道对于模型(M2)，从任意正初值出发的解都是正的．下面给出C0(t)和CE(t)的有界性．

引理2对于模型(M2)，若g+d0+α+β

引理2 的证明参见文献[5]中引理2.2 的证明．

3 主要结果

在本节内容中，我们将讨论种群模型(M2)的一致持久、平均非持久、平均弱持久和走向灭绝的条件．我们假设文章第三部分所有定理都满足引理2 的条件．由于模型(M2)的最后两个方程是非线性的，难以用u(t)将C0(t)和CE(t)表示出来，在这种情况下，我们通过平均积分方法来分析模型(M2)的动力学行为，模型动力学行为的条件仅受到模型参数或者已知函数u(t)的影响．

接下来的定理1，我们将证明得到种群N(t)一致持久的充分条件．

定理1对于模型(M2)，若假设条件(A1)、(A2)、(A3)和

同时满足，则种群N(t)从任意初值N0> 0 出发都将一致持久．其中f(0)表示在初值N0处的任意种内竞争关系．

证明 通过引理1，我们知道对于任意t ∈R+，有和 0 ≤ CE(t) ≤1．因此，对于任意ε1> 0，存在t1> 0，使得当t > t1时，有成立．从模型(M2)的第二个方程我们知道

由于方程

有一个稳定的平衡点

因而，对于任意的ε2>0，存在常数t2>t1，使得当t2>t1时，有

从(3)式和(4)式，我们知道

因此，可知

根据定理假设条件，我们可以选择充分小的ε1和ε2，使得

其中θ 是一个正常数，由(5)和(6)式，可得

考虑方程

显然方程(8)是一个Logistic 方程，其解析解为

由(9)可知

故根据标准比较定理可知

所以有

根据引理1 可知种群将会一致持久，定理证毕．

说明1定理1 说明了当种群内稟增长率r0较大时，种群是很容易持续存活下去的，生物体本身对毒素的排泄和净化能力比较强也是有益于种群的持续生存的．但是，种群对环境毒素的吸收率k 较大，对体内毒素反应系数α 和对环境毒素反应系数β 较大时都不利于种群的持续生存，这是符合实际的．

研究种群N(t)平均非持久的充分条件，我们将会得到如下定理．

定理2对于模型(M2)，若假设条件(A1)、(A2)、(A3)和r0= f(0)同时满足，则种群N(t)从任意初值N0>0 出发都将会平均非持久，即⟨N(t)⟩∗=0．

证明 因为当t ∈R+时，N(t) > 0，所以N(t)在闭区间[0,t]上的积分是正值，即因此，存在充分小的ε>0，使得

(10)式两边同时除以t 并取上极限，得到

因为r0=f(0)，可知道⟨N(t)⟩∗≤0．根据夹逼准则可得⟨N(t)⟩∗=0．定理证毕．

种群的持久与灭绝情况是我们最关心的问题，我们将在接下来的定理3 中证明得到种群平均弱持久与灭绝之间的阈值条件以及种群平均弱持久的充分条件和种群走向灭绝的充分条件．

定理3对于模型(M2)，满足假设条件(A1)、(A2)、(A3)，并令

(i) 若

则：

(a) 当

时，种群N(t)将平均弱持久；

(b) 当

时，种群N(t)将会灭绝．

(ii) 若

则：

(a) 当

时，种群N(t)将平均弱持久；

(b) 当

时，种群N(t)将走向灭绝．其中f(0)表示在初值N0处的任意种内竞争关系．

证明 对模型(M2)，将每个方程从0 到t 进行积分，然后在等式两端同时除以t，可得到

由方程(12)引出

将等式(14)代入等式(11)，可得

模型(M2)的第一个方程可以引出

因此可得

结合等式(13)–(16)，可得

若⟨N(t)⟩∗= 0，即和⟨N(t)⟩∗= 0，将得出矛盾．因为N(t)是非负有界的，0 ≤C0(t)≤1, 0 ≤CE(t)≤1，由(15)式，我们得到

这与(i)中的条件(a)及(ii)中的条件(a)矛盾．

接下来，我们将证明(i)中的条件(b)及(ii)中的条件(b)．若(i)中的条件(b)和(ii)中的条件(b)的结论不成立，即⟨N(t)⟩∗> 0 时，我们将证明它与(i)中的条件(b)和(ii)中的条件(b)是相互矛盾的．

因为对于任意t>0，有0 ≤C0(t)≤1, 0 ≤CE(t)≤1，由(13)式，我们有

现在我们有

若⟨N(t)⟩∗≥ 0，则我们知道 ⟨u(t)⟩∗≤ ⟨G(N)⟩∗．根据引理1 我们知道N(t) ≤所以很容易看出G(N)在区间上取得大值的点必然在区间的端点处，即

这与(i)中的条件(b)矛盾．若

则与(ii)中的条件(b)矛盾．定理证毕．

说明2定理3 说明了当外部毒素输入量⟨u(t)⟩最低极限水平低于

值时，种群是平均弱持续的．若生物体对环境毒素的吸收能力k 值减小，体内毒素反应系数α 和环境毒素反应系数β 减小，而生物体内毒素的排泄率g 和生物体自身对毒素的净化率m 的都增大，且种群内稟增长率r0与环境的自我净化能力h 增大，则生物种群抵抗污染的能力更强．但是过量对环境输入毒素必定会使种群走向灭绝．

4 实例分析

在模型(M2)中，若令f(N(t)) = fNσ(t)，其中σ 是个正常数且σ1，我们得到如下模型

显然，当σ =1 时，模型(M3)就是模型(M1)，所以模型(M1)是模型(M2)的特殊情况．

若N > 0，易知函数f(N) = fNσ满足假设(A1)、(A2)和(A3)．根据引理2，我们得到如下推论：

推论1对于模型(M3)，若

则任意从初始条件N0> 0 出发的解(N(t),C0(t),CE(t))，对所有t ∈ R+，有N∗(t) ≤成立，且 0 ≤ C0(0) ≤ 1 和 0 ≤ C0≤ 1 也成立．

推论1 的证明参见文献[6]中推论1.1 的证明．

若f(N)=fNσ时，有f(0)=0，根据定理1 很容易得到如下推论：

推论2若

则对于模型(M3)的解N(t)从任意初值N0>0 出发，种群都将一致持久．

当f(N(t))=fNσ(t)和f(0)=0 时，根据定理3 可得到如下推论：

推论3假设模型(M3)满足条件(A1)、(A2)、(A3)，令

(i) 若

则：

(a) 当

时，种群N(t)将会平均弱持久；

(b) 当

时，种群将走向灭绝N(t)．

(ii) 若

则：

(a) 当

时，种群N(t)将会平均弱持久；

(b) 当

时，种群N(t)将走向灭绝．

接下来我们利用数值模拟来说明我的实例，考虑模型(M3)，当α = 1, β = 0.5, f =0.5, σ = 2, k = 4, d = 4.5, θ = 1, γ = 0.6, g +m+b0= 8, k1= 0.004, α1=0.001, β1= 0.004, h = 1, u(t) = 0.1 sin(t) + 0.1 cos(3t) + δ(δ ∈ R+)时，令r0=2.5, g1+d1=0.001, δ =0.5 模型(M3)满足推论1 的条件．我们给模型(M3)设置初始值

模型(M3)的解如图1(a)和图1(b)所示，种群N(t)从初值N0>0 出发将一致持久．

令r0= 0.3, g1+d1= 0.001，当δ = 0.2 时，模型 (M3)满足推论 3 中(i)(a)的条件，模型(M3)从初始值(N0(0),C0(0),CE(0)) = (0.6,0.2,0.3)出发，其解如图2(a)所示，很显然种群N(t)从初值N0> 0 出发将平均弱持久；当δ = 0.7，模型(M3)满足推论3 中(i)(b)的条件，模型(M3)从初始值(N0(0),C0(0),CE(0))=(0.6,0.2,0.3)出发，其解如图2(b)所示，种群N(t)从初值N0>0 出发将走向灭绝．

图1: 当r0 =2.5，初始值为(0.6,0.2,0.3)和(2.6,0.5,0.7)时，模型(M3)的动力学行为

图2: 推论3 中条件(i)成立时，模型(M3)的动力学行为

令r0=0.3, g1+d1=0.04，当δ =0.2 时，模型(M3)满足推论3 中(ii)(a)的条件，模型(M3)从初始值(N0(0),C0(0),CE(0)) = (0.6,0.2,0.3)出发，其解如图3(a)所示，很显然种群N(t)从初值N0> 0 出发将平均弱持久；当δ = 0.8 时，模型(M3)满足推论3 中(ii)(b)的条件，模型(M3)从初始值(N0(0),C0(0),CE(0)) = (0.6,0.2,0.3)出发，其解如图3(b)所示，种群N(t)从初值N0>0 出发将走向灭绝．

图3: 推论3 中条件(ii)成立时，模型(M3)的动力学行为

5 讨论

污染环境中的单种群模型在以往文献中已有很多研究，本文中在以往模型的基础上对模型进行推广提出了污染环境中的广义单种群模型(M2)，不仅同时考虑环境毒素和食物链毒素对种群的影响，而且用一般函数来刻画种群间的竞争关系，从而考虑多种不同竞争关系下环境污染对种群生存的影响．通过研究我们得到了污染环境中单种群模型一致持久、平均非持久、平均弱持久和灭绝的充分条件，并且还得到平均弱持久与灭绝之间的阈值条件．与已有的模型相比较，我们的模型(M2)不仅考虑了环境毒素对种群的影响，还考虑了食物链毒素对种群的影响，特别是我们将种间相互作用关系函数fN(t)改进成f(N(t))的形式，使得我们的模型与已有的模型相比而言更具有一般性．因此，与前人的研究成果相比，本文的结论更具有一般性．改进后的模型(M2)有利于我们将模型进行推广应用，对于各种不同的生物种群，刻画它们之间的种间竞争关系的函数也是不同的，但是不论对于什么样类型的生物种群，它们之间的复杂的种间关系都能够在我们改进的模型模型(M2)中通过一般函数f(N(t))反映出来，就可以用本文的结论来研究不同生物种群的动力学行为．