(湄洲湾职业技术学院,福建 莆田351254)

0 引 言

在神经系统中时滞是不可消除的，因为在神经突触信号传导时，两端的传播速度都是有限的，所以突触传递有延迟。时滞会破坏同步状态和诱导半规则波动状态，诱发各种时空模式和多随机共振，并增强螺旋波的相干性。近年来，在神经元网络中时滞引起的同步转迁，吸引越来越多专家学者的研究兴趣。研究发现，时滞可诱导两个耦合的快速增强神经元和Rulkov地图小世界神经网络的同步转迁，并且可以间歇性地诱导无规则的神经网络同步转迁。总而言之，时滞能诱导复杂的动力学演化和同步转迁模式。另外，曾翰旻等人(2017)提出解决神经元网络比例非线性耦合问题，可以通过时间变量指数变换的方式来解决[1]。王燕锋等人(2018)提出利用网络转移概率的不确定特性，通过积分的方式减缓网络迟滞性[2]。张峥等人(2017)从网络拓补角度出发，选择恰当方法实现网络同步控制[3]。基于此，可以看出，建立同步转迁的耦合系统可以帮助我们分析信道噪声增强行为与时滞的相互作用。

1 神经元复杂网络模型

1.1 方程式

根据HH神经模型，动态膜电位V(t)可以被描述为如公式1所示：

gL(V-VL)+I(t)

(1)

其中的常量gNa=120ms/cm2，gK=36ms/cm2，gL=0.3ms/cm2分别是钠、钾的最大电导率以及泄电导率。C=1μF/cm2是膜电容；VNa=50mV，VK=-77mV，VL=-54.4mV分别是钠、钾、泄电导的逆转势。假设一个周期性的刺激I=sin(0.3t)，这是一个阈下刺激以及如果内部通道噪声没有加入到计算中，则不引发动作电位。根据HH的成果，控制变量m，h和n描述的是钠离子和钾离子打开通道大门的平均比率，以及因变量n4，m3h是打开带有薄膜片的钾和钠的通道的平均部分。考虑到通道噪声，随机控制变量m，h和n服从下列朗之万方程如公式2-4所示：

(2)

(3)

(4)

其中压敏电阻器开合过渡率如公式5-10所示：

(5)

βm(V)=4exp[-(V+65)/18]

(6)

αh(V)=0.07exp[-(V+65)/20]

(7)

(8)

(9)

βn(V)=0.125exp[-(V+65)/80]

(10)

其中ξi=m,h,n(t)是高斯白噪声，其值约等于0以及自相关函数〈ξ(t)iξ(t')i〉=Diδ(t-t')。Di=m,h,n代表有效通道噪声的强度，如公式11-13所示：

(11)

(12)

(13)

所有涉及钾和钠离子通道的数字分别由NNa和NK调节。假设例子通道密度均匀，其中ρNa=60μm-2以及ρK=18μm-2，离子通道数是由NNa=ρNaS和NK=ρKS得出的，S是模块的体积[4]。

现在，复杂网络上的耦合的HH神经元的膜电位动力学如公式14-15所示：

(14)

(15)

其中x=m,h,n和1≤i≤N。这里N是神经元的个数，τ是时滞在公式1-15构成的HH网络模型中。在耦合项∑jεij[Vj(t-τ)-Vi]，Vi是第i个神经元在时间t的膜电位，Vj(t-τ)是第j个神经元在时间t-τ的膜电位，其中τ是时滞；1≤(i,j)≤N，其总和要超过具有的神经元的总和。εij是两个神经元i和j之间的耦合常数，它是由系统的耦合模式定义的，对任意两个神经元都是相同的，换而言之，就是εij=ε。如果神经元i和j连接在一起，他们有一个恒定的耦合强度ε=0.1；否则ε=0。

1.2 神经网络模型

这里所用的神经网络是根据论文构建的。它是从一个存在60个相同的HH神经元的常规环开始的，每一个神经元有两个最近的邻居。连接随机的在两个不是最近的顶点之间添加。在极限的情况下，所有的神经元都和其它的神经元是耦合的，整个神经网络包括N(N-1)/2条连接线。用M表示连接线的数量，连接线数量是由p=M/[N(N-1)/2]给出的，其中p可以用来描述网络的随机性。请注意由p确定网络中连接的数量[5]。

引进标准差σ来测量空间同步的定义如公式16所示：

σ=[〈σ(t)〉]

(16)

其中〈·〉表示超出时间的均值，[·]表示对于每一个p，超过50个不同网络的均值。σ(t)值是测量在确定的时间t，神经元空间同步的峰值。σ值越小表示有更多的同步行为。

公式14及15运用欧拉方法在间隔为0.001ms进行运算得到数值结果。利用周期性边界的条件，所有神经元的各个参数都完全相同除了不同初始值的电势Vi0和每个神经元的噪声。对每一个ξi(t)，模拟运算平均超过50个网络间的连接，在每一个网络间的连接60个神经元的膜电位的初始值都是随机选取的。

1.3 狄波拉函数

原始定义：以坐标x为自变量的并且同时满足下列两个条件的实函数δ(x)称之为δ函数，如公式17所示：

(17)

除了上述原始的定义之外，δ函数还有另外一些表述方式。

导数形式

若已知阶梯函数如公式18所示：

θ(x)=0,(x<0)
θ(x)=1,(x>0)

(18)

则容易验证θ(x)的一阶导数θ′(x)刚好满足公式17的两个条件，于是如公式19所示：

δ(x)=θ′(x)

(19)

积分形式

将δ(x)向波数k的本证波函数展开，即如公式20所示：

(20)

展开系数如公式21所示：

(21)

将上式代入公式20，立即得到δ(x)的一种最常用的形式，如公式22所示：

(22)

2 实验模拟

2.1 Matlab运行结果与分析

随着耦合概率p增加，σ的值越来越小，综合所有得出图像的特征，时滞τ大小的变化不影响这个结论。说明随着耦合概率p的增加，神经网络同步性越强。

耦合概率p一定，当τ≤6时，随着时滞τ的增加，σ的值越来越大；当τ=6时，σ的值变化是相对τ为其他值时最大的；当τ=7时，σ值到达一个峰值；当τ>7时，σ的值越来越小。这些差异显示了时滞对不断变化的随机网络同步的影响。同时也可以得出当τ<7，同步减少，当τ>7，同步增加。综合这两种现象，在τ等于5至10之间，σ随着p函数变化，意味着在τ大约等于8时，神经元可能会出现一个特定的同步行为[6]。

在没有时滞的情况下(即τ=0)，神经元表现出SS行为。当考虑到时滞τ，并且随着τ的增加，SS先减少(如τ=3)，并在τ约等于7时，发生APS行为，在τ=8或τ=9时，有时也会出现APS现象。但是与整个现象相比较，APS这时已经差不多消失了，并且在τ=10时，类SS现象再次出现。

在τ=7时，神经网络发生同步转迁行为；当τ<7时，神经网络呈现簇同步；当τ>7时，神经网络呈现峰同步。可以得出结论，神经元活动的信息传输延迟引起的APS行为是由于时间延迟和网络上的所有的单个神经元的尖峰期间之间的锁定。

2.2 APS结果分析

运用数值研究了时滞τ对纽曼瓦特网络中随机HH神经元的同步的影响，调查信道噪声对它的影响。可以发现，当τ增加，神经元表现出从SS状态转换到APS状态进一步又转换到增强SS状态。对于不同大小的块，随机的网络，以及耦合强度，类似的同步转迁和APS行为几乎总是发生在时滞τ约=4时，这表示在信道的噪声，随机连接的数量，以及连接强度的影响下，由时滞引起的同步转迁依然是健壮的。这个结果有助于我们理解时滞的影响以及在随机HH神经元发生增强行为时，信道噪声和时滞之间的相互作用。实验研究表明，峰同步可以在运动皮层神经元被观察到，并且它可以促进认知运动过程的皮层组织活动。这些事实表示，不同类型的峰同步对在大脑中的信息处理有不同的影响。因此，研究结果提供了信道噪声和时滞对大脑中信息处理影响的新的认识。APS行为几乎总是发生在时滞τ约等于7时，APS行为没有预期的明显。其他结论与理论结果基本一致。

2.3 欧拉算法的误差

欧拉方法的局部截断误差如公式23所示：

(23)

由于迭代运算的次数很多(几十万至几百万次)，误差的累积将会扩大，所以当时滞τ越大时，得到的结果误差就越大，影响了最后的结果。数据初始化不一样，可能得到的结果也不一样。由于计算机运算能力差，运算几百万次需要一天，当取多个网络的平均值时，需求的运算时间就特别长。针对问题的算法复杂度过高，导致需要运行更多的次数才能得出结果。

3 结 论

研究复杂网络可以使人们更好地了解现实世界的复杂系统，从而为设计具有良好性能的网络提供理论依据，同时复杂网络的理论成果将广泛地应用到机器人、自动控制、生物、计算机、经济等领域。通过对随机霍奇金-赫胥黎(HH)神经元建立模型，探究了纽曼瓦特网络同步增强受时滞影响的情况。目的是提高人们对信道噪声在增强时与时滞之间相互作用的认识，从而为减弱螺旋波的相干性提供理论基础。