(绍兴文理学院土木工程学院,浙江 绍兴 312000)

0 引 言

在探索斜拉桥的过程中，拉索大概占全桥比重的25%，因此探究拉索显得很重要。而对于拉索而言，一根拉索的好坏，拉索索力起着很重要的作用，所以索力的识别就变得越来越重要。目前，索力检测识别方法为静、动力检测识别方法。静力检测方法主要有以下几种：锚索计法[1]该方法不适用于长期监测；三点弯曲法[2]该方法不适用于大型结构；磁通量法[3]该方法成本高，测试时间长；动力检测方法主要有：振动法(频率法)[4-5]，基于振动频率法的索力测试识别技术是目前最为常用的索力测试方法；振动波法[6]，该方法在实际工程中使用起来十分困难。针对静态响应的斜拉桥的拉索索力进行识别，通过改变结构静力平衡方程对拉索索力进行识别，这对于工程实际中对静态响应的斜拉桥的拉索索力识别提供很大的帮助。

1 单元坐标转换矩阵

1.1 索单元刚度矩阵

未受张拉作用的索是松散而柔软的，不具备刚度，与工程结构中的梁、板和柱等相比，拉索在截面构造和材料属性这些方面表现的并不敏感。因此，探究拉索很有工程意义，尤其在斜拉桥中的拉索使用。

1.1.1 自然坐标系下索单元刚度矩阵

如图1所示的索单元:

图1 自然坐标系下节点位移

首先把单元内的位移采用结点位移来表示，为此，要先假设一个结点位移模式如下

(1)

一个单元共有两个自由度，那么可以假设单元内的位移模式为：

(2)

把单元结点的坐标和位移代入，就能得到关于待定系数a的线性方程组：

(3)

由(3)式，可以得到

(4)

将(4)式代入(2)式，可得

(5)

式(5)数N和结点位移矩阵为

(6)

由单元内位移的表达式，单元内的应变可以得到

(7)

单元内的应变能可以表示为：

(8)

其中式(8)中

(9)

根据最小势能原理[15]，式(8)的总势能一阶变分为零，即

(10)

由于结点位移的任意性，有式(10)可以写成

Keδe=fe

(11)

式(11)Ke是索单元刚度矩阵

(12)

1.1.2 整体坐标系下索单元刚度矩阵

当索单元处于斜拉(即考虑转角)状态下，其对应的单元刚度矩阵在坐标系下推导过程采用三角函数变换求得。如下图2的索单元：

图2 整体坐标系下节点位移

则索在考虑转角后在整体坐标系下的单元刚度矩阵Ksp为[7]：

Ksp=

(13)

1.2 梁单元刚度矩阵

1.2.1 自然坐标系下梁单元刚度矩阵

一个梁单元自然坐标系下节点位移可用图3表示：

Ke=

图3 自然坐标系下节点位移

图4 简易斜拉桥示意图

其广义位移为:

Ke=

(14)

结合梁单元轴向刚度及弯曲刚度矩阵，可以得出水平梁单元在自然坐标系下的刚度矩阵[7]：

Ke=

(15)

1.2.2 整体坐标系下梁单元刚度矩阵

将局部坐标系投射到整体坐标系中可以得到[8]

(16)

图5 斜拉桥示意图

由于工程中多存在一些组合结构，如索与梁的组合结构时，因节点自由度不同，列平衡方程求解不仅困难，而且繁琐，还给施工带来不少的困难，因此解决组合结构问题变得极其重要。通过建立过渡矩阵和关联表快速定位各单元在整体刚度矩阵中位置，优化了可编程性，使得庞大的结构网络可以变得井然有序，让一些看似很难解决的组合结构，变得可以解决，这样将对我们解决实际问题提供很大的帮助。

2 斜拉桥索力识别方法

由结构静力平衡方程，有

K·U=F

(17)

又因为

(KL+KS)U=F

(18)

其中KL是梁单元整体刚度矩阵，KS是索单元整体刚度矩阵，U是位移向量。由式(18)可以推导出

KSU=F-KLU，令f=F-KLU

(19)

又因为

(20)

由式(19)和(20)，可得

(21)

由于p是索力，可以看成一个数，因此可以推得

(22)

其中式(22)中

Ki=kiU

(23)

U是实际工程中可以测到的位移数据，ki是将索力拆分之后剩余的矩阵(如式(13)中将T拆除组装的新矩阵)，因此式(22)可以反推出索力T，进而进行索力识别。

3 算例分析

3.1 算例分析一

对于图4所示的简易斜拉桥，1-8为梁单元，9-12为索单元，桥面受到集中荷载作用，假设材料属性如下表1，求结构索力。

表1 材料属性表

1)建立单元刚度矩阵；根据式(15)可得到1单元的单元刚度矩阵

2)建立过渡矩阵；此结构共9个节点，考虑到按梁单元自由度数，故建立一个27阶的零矩阵作为过渡矩阵；i的系数则为3。

4)将过渡矩阵中同一位置的值相加整理即可得到结构中梁(1-8单元)K和索(9-12单元)K

5)采用置1法[9]进行边界约束，添加边界条件(在6号节点设置固定支座约束竖向位移)

施加荷载(在1号节点和5号节点分别施加10kN和20kN竖向的力)，并建立总体平衡方程：

(KL+KS)U=F

(24)

6)计算索单元索力T

由式(22)结合本算例一有，

K9T9+K10T10+K11T11+K12T12=f

(25)

又式(25)可以改写成，

(26)

利用算法，求得的索力T如下表2：

表2 索力相对误差表

3.2 算例分析二

对于图5所示由平行钢丝所制成的平行斜拉桥(所以拉索与梁之间所形成的夹角都为)，1-43为梁单元，44-63为索单元，桥面受到集中荷载作用，假设材料属性如上表1，求结构索力。

利用静力学算法求得的索力T如下表3：

表3 索力相对误差表

误差造成的主要原因是实际工程测得外力和结点位移精度有限，目前的水平达不到那么高的精准。由表2和表3分析可以看出，受力点所对应的索的误差不是最大的，而靠近主梁左侧的索力受到的影响最大，因而导致偏差最大，中间的索受到的影响较小。由式(26)结合表2，表3可以得出只要能够得到某根索的结点位移，和其对应的外力，就可以识别该索的力，同时也能通过适量的计算，得到该索的损伤程度。利用静力学算法可以较准确的识别某根索的力，同时也可以识别出所有索的力，因此可以给静态响应的斜拉桥的拉索索力识别提供设计参考。

4 结 语

创建了基于静态响应的斜拉桥的拉索索力识别方法；构建了平行拉索斜拉桥模型；利用能量变分原理推导了索的单刚；利用关联表法分析平面内不同单元类型的组合结构，不但可以很好地展示节点和自由度关系，而且可以很好的在整体刚度矩阵中标注他们的位置，提取个体单元也变得简便快捷；利用静力学算法有效地识别了拉索的索力。