石鹏

在江苏高考中，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线、线面、面面的平行与垂直，以及空间角（线线角、线面角、面面角）求解问题，历来是附加题命题的热点，难度中等，那么立体几何中的空间向量法主要涉及哪些问题呢？

一、利用空间向量证明平行与垂直

例1 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.

（1）求证：AM∥平面BDE;

（2）求证：AM⊥平面BDF.

证明：（1）由题知CD，CB，CE两两垂直，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，

则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，1），F（2，2，1）.

设AC∩BD=N，连接NE，则N（22，22，0），

所以NE=（-22，-22，1）.

因为M为EF的中点，则M（22，22，1），

所以AM=（-22，-22，1）.

所以NE=AM，所以NE∥AM.

又因为NE平面BDE，AM平面BDE，

所以AM∥平面BDE.

（2）由（1）知AM=（-22，-22，1），DF=（0，2，1），BF=（2，0，1），所以AM·DF=0，AM·BF=0，

所以AM⊥DF，AM⊥BF.

又DF∩BF=F，DF，BF平面BDF，所以AM⊥平面BDF.

评注：1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.

2.证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量代数运算.

3.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直.

二、利用空间向量求角

例2 （2018全国新课标Ⅱ理）如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中点.

（1）证明：PO⊥平面ABC;

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

解析：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，

所以OP⊥AC，且OP=23，

连结OB.因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2，

由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB，

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.

（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建……