谢建金 董荣森

【内容摘要】将多元表征引入数学问题解决的课堂，让学生表征能力在数学问题解决中得到培养，获得数学知识与素养。落实新课程标准，提升学生数学核心素养，发展学生的关键能力是当下一线数学教师的教育任务与追求。借助数学图形表征，如：利用图形描述数学问题，利用图形理解数学问题，利用图形刻画数学问题、利用图形寻找解决问题突破口建立数与形的联系，发展学生数学的关键能力。

【关键词】图形表征关键能力数学表征核心素养

一、问题提出

众所周知，对于一个数学对象的描述可以是多角度、多渠道、多维度的，可以用命题的陈述性语言描述，也可以用图形的表象性语言描述;可以用命题的解析形式描述，也可以用命题的图表形式描述;可以用现实世界中的原型描述，也可以用抽象的数学符号描述，但不同的呈现方式会给问题的解决带来不同的影响与效果。如果表征形式为学习者所熟悉的或学习者已有过的经历或经验，那么更有利于学习者对问题的解决;反之，如果表征的形式为学习者所陌生的或没有经验，则不利于学习者对问题的解决。随着现代教育技术在教育领域的广泛应用，多元表征的研究已经成了认知科学、教育等领域的热门话题，南京师范大学喻平教授曾说过：“数学多元表征学习是当代教学中无法回避的问题，对于数学学科而言，这种不可回避性显得更加突出。”

通过平时的教学、听课研究和课堂观察，促使笔者思考：如何应用多元表征促进或增强学生的学习效率，发展学生的数学关键能力;解决数学问题需要对问题表征进行研究;培养学生表征能力需要设计数学多元表征等，这些问题一直萦绕在耳边，也成了笔者研究的主要原因。

二、多元表征的涵义

在认知心理学、教育心理学等研究领域中，多元表征（The multiple representation）是指一個概念或问题以多种形式表征（通常指信息或知识在心理活动中的表现和记载的方式）。与“单一表征”相比，“多元表征”强调数学知识心理表征的多元性，强调知识表征不同方式的相互渗透、联结、互补与转换。

数学多元表征是指数学学习对象可以运用“数”（数字、式子、数学概念、数学性质、数学定理等）、“形”（数学模型、图象、几何图形等）等多种形式来加以表征。简单地说数学多元表征是指同一数学学习对象的多种表征形式。对于一个数学对象的描述可以是多渠道、多方位的，但不同的呈现方式会给问题解决带来不同的效果。

因此，我们在平时的教学过程中要关注数学问题的不同表征，通过对问题表征进行研究、设计合理的表征、把不熟悉的表征通过变化表征转化为我们所熟悉的表征;通过透过问题的外在表征，领会并把握问题的实质，揭示和理解问题本质，这样才会使问题迎刃而解，提升学生解决问题的能力，发展学生的数学核心素养。限于篇幅，笔者将围绕数学图形表征在发展学生数学能力等方面的运用，并结合案例谈谈一些认识与实践体会，以飨读者。

三、借助数学图形表征，发展学生数学的关键能力

我们知道：数学具有逻辑性、抽象性和概括性，而数学图形具有通俗性、直观性和形象性。数学图形表征是数学多元表征之一，它在中学数学教育教学中具有举足轻重的作用，它能够将一些抽象的数学问题借助图形进行表征，让学生在数学学习过程中直观地发现问题、分析问题、进而解决问题。数学的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六大部分。直观想象是指借助图形和空间想象感知事物的形态与变化，利用数学图形表征来理解和解决数学问题，主要包括利用图形描述数学问题，利用图形理解数学问题，利用图形刻画数学问题、利用图形寻找解决问题突破口，建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的方法与途径。发展学生逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等关键能力。

1.运用图形表征描述数学问题，发展学生数学直观想象能力

华罗庚先生在《数形诗》中写道：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这充分说明了数与形之间的紧密关系，也表明了“形”的直观表征对有效解决数学问题的重要性。

【案例1】（2015年北京卷）如图1，函数f（x）的图象为折线ABC，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 （答案：[-1，1]）

【评析】这是一道非常典型的能够体现数学多元表征知识应用的好题，利用函数的图象来描述数学问题。解决的途径有两条：一是根据函数的图象求出函数f（x）的解析式（分段函数），即将图形语言转化为数学符号语言，再分段进行解答求解;二是在已知的同一个坐标系中再作出函数y=log2（x+1）的图象，将数学符号语言转化为图形语言，结合图象求解不等式。如果学生不能够将图形语言与数学符号语言之间相互转化，那么就很难顺利地解答此题。

2.运用图形表征理解数学问题，发展学生数学逻辑推理能力

直观想象是发现和提出数学问题、分析和理解数学问题、探索和形成解决数学问题思路的重要手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础。通过直观想象核心素养的培养，让学生养成运用图形表征和空间想象思考问题的习惯，建立良好的思维直觉，理解事物本质和发展规律。一般来说，二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的定义域为[a，b]，值域为[c，d]，则其图象有如五种情形（如图2），其实关键是二次函数的图象（抛物线）的对称轴与给定区间的位置关系。