■福州第十五中学 徐荣树

一、学贵知疑，悟从疑得

明代教育家陈献章主张“学贵知疑”的教育理念，主张学习应敢于提出疑问，独立思考，不要迷信先人及权威，强调“提出问题”对于学习的重要性。孔子也倡导学生“每事问”，教师应在教学过程中摒弃“师道尊严”的想法，面对学生的质疑应作出恰当的回应，创造一个宽松的环境，让学生敢于提问，点燃学生思维探索的火焰，使学生围绕知识本体不断探索，在质疑中领悟知识真谛，对所学知识进行再认识、再创造，逐步形成自己的能力。现行人教版高中数学必修二教科书（2007年2月第3版）在“§4.2.1直线与圆的位置关系”（第126-128页）中设置例2如下：

题1：已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4，求直线l的方程。

教科书中依据垂径定理及勾股定理计算出弦心距后作出下列表述：“因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3 )。”这种表述虽然不影响本题两解的得出，但极易让学生产生以下疑问：“过定点直线的方程是否都可以用点斜式直接假设？”在教学中笔者对例题适当改编如下：

题2：已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8，求直线l的方程。

学生参照教科书中的问题解决方法可以求出直线l的方程为4x+3y+21=0，比较题1、题2的结果提出以下疑问：①为什么仅仅改动弦长就能影响解的个数？②弦长分别满足什么条件，所求直线方程有两解、一解或无解？（借助几何图形探究得出弦长小于、等于或大于直径时所求直线方程分别为两解、一解或无解）；③当所求直线方程有两解时，这两条直线具备什么图像特征？（关于过定点的直径所在直线对称）；④题2中弦长小于直径，为什么所求直线方程只有一解？还有一条直线哪去了？（利用对称性进行图形演示得出另一条直线与x轴垂直。）；⑤为什么解题过程无法得出这条与x轴垂直的直线？（题中利用点斜式假设直线方程已认定直线与x轴不垂直。）

通过以上追问可见教材编写存在不妥之处。做如下更改比较贴切：“ ……即圆心到所求直线l的距离为。如果直线l的斜率不存在，那么直线l的方程为x=3，易得圆心到直线l的距离为3，不符合题意（舍去）。如果直线l的斜率存在，不妨设斜率为k，所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3)。”

在教学过程中，教师应鼓励学生大胆质疑，敢于质疑，让学生逐步形成严谨的习惯，逐渐培养学生具有求真务实的科学态度。

二、疑中激趣，疑中辨析

疑问能激发兴趣，学习以疑贯穿始终，其乐无穷，爱因斯坦一生对学习如痴如醉，其中最重要的原因是总是带着疑问学习。数学知识有极强的关联性，各知识点盘根错节，常常具有共性又互不相同，不断提出问题不断辨析，进而澄清知识要点，构建完善的数学大厦。

学生通过这一系列疑问对椭圆与双曲线的异同展开深入探讨，沉浸于两圆锥曲线的不同变化之中，从中找到探究问题的乐趣，从细小的条件变换领略各自对题目的影响，在探究过程中完成对两曲线的深度辨析，完善圆锥曲线知识体系。

三、善于质疑，疑中求进

学生从无疑到有疑不可能一蹴而就，教师可根据任务主体设置题组，引导学生如何提出疑问，由浅入深，题题相扣，题题递进，逐步完善任务主体的方方面面，使学生的思维不断得到激发和深化，逐渐达到“无疑—有疑—无疑”的不断循环转化，进而不断提高数学水平。现行人教版高中数学选修1-1教材（2007年2月第3版）第62～63页及选修2-1教材（2007年2月第2版）第71～72页中均设置如下例题（题3），在教学过程中教师可引导学生结合此题对题4、题5进行探讨。

题3：已知抛物线y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

题4：已知抛物线y2=4x，直线l过定点P（-2，1），讨论直线l与抛物线y2=4x的位置关系。

题5：求过定点P（0，1）且和抛物线y2=4x有且只有一个公共点的直线方程。

题3联立方程组消元后学生常顺势马上计算Δ，此时应引导学生对此做法的合理性进行探讨，让学生注意根的判别式Δ只适用于一元二次方程（要求二次项系数不等于0），因此在二次项系数含参数的情况下必须分类讨论。

题3的实质是过定点直线与抛物线公共点个数的探讨，若只已知过定点（未涉及斜率），若求公共点个数问题改成直线与抛物线位置关系问题，对问题的解决有什么影响（题4）？若将定点从P（-2，1）改成P（0，1），过定点斜率不存在的直线与抛物线的位置关系有何不同（题5）？通过上述问题的挖掘与解决并不断引申出新的问题再解决，可完整地掌握直线与抛物线位置关系的相关知识。

疑问是理解知识的前提，疑问是进一步深入学习的催化剂，疑问越多，好奇心就越强，教师应让学生在不断提问中学会质疑技巧，集中注意力，在攻克各种疑问中不断进步。