赵星明,艾典胜,赵 赛

1.山东农业大学水利土木工程学院,山东 泰安271018

2.泰安市建筑设计院有限责任公司,山东 泰安271000

3.上海市政工程设计研究总院集团第七设计院有限公司,山东 青岛266001

颗粒层过滤工艺广泛地应用于自来水和污水深度处理中，主要用于去除水中悬浮物、藻类、有机物等。石英砂是常用的滤料。为了增加滤池的含污能力，需要对石英砂进行筛分，确定要筛除部分大小粒径范围，以改进其级配组成。滤料级配是保证过滤效果的关键因素，若粒径分布不均匀，颗粒会互相掺杂而降低孔隙率，影响过滤和反冲洗效果。并且在使用过程中也要定期地做筛分试验，以检验滤料的质量。传统的图解法对筛分试验数据的处理，得到的结果误差大且计算过程繁琐。

本文采用NURBS 样条曲线和Lagrange 抛物线两种高精度的插值方法。首先内插计算通过滤料质量10%和80%相对应的滤料粒径d10和d80，然后确定筛除和筛选保留的滤料粒径，得到新的滤料级配参数，使滤料筛选过程准确方便。

1 滤料筛分试验

某滤池滤料采自河砂，粒径为0.63～1.60 mm，按照《水处理用滤料》（CJ/T 43-2005）行业标准进行筛分试验，要求筛选的滤料达到设计参数d10=0.90 mm，k80=1.4 的要求。对试验原始数据处理后，形成筛孔径与通过砂量百分数的筛选结果，如表1 所示。

根据表1 筛分试验数据，计算出应筛除的天然石英砂最小粒径和最大粒径。不均匀系数k80是d80与d10的比值，而d10和d80定义为通过滤料质量10%和80%相对应的滤料粒径。已知d10=0.90 mm，k80=1.4，则d80=0.90×1.4=1.26 mm。

2 NURBS 样条曲线插值计算

AutoCAD 是利用非均匀有理B样条（Non Uniform Rational B-spline，NURBS）算法创建样条曲线的。NURBS 曲线的基函数为B样条，各节点间距是非均匀的，允许对控制点加权，由控制点Pi、节点矢量U、权值wi确定。给定n+1 个控制点p0，p1，…，pn和一个节点向量U={u0，u1，…um}，NURBS 曲线方程为：

其中C(u)为曲线上的位置向量，Ni,p(u)是p次B样条基函数，由Cox-de Boor 递推公式定义：

AutoCAD 默认wi=1 构造NURBS 样条曲线，在model 空间的WCS 坐标系，以筛的孔径为横坐标，通过筛孔的百分数为纵坐标，利用AutoCAD VBA 调用AddSpline 函数绘制曲线，拟合点公差仅为1.0000E-10，如图1 所示。节点矢量U 由数组fitPoints 存储筛孔径和通过筛孔的百分数坐标值，起始切点和终止切点分别由数组startTan 和endTan 存储，其程序代码如下：

在图1 的x轴d10=0.9 和d80=1.26 两点，分别作与y轴的平行线与曲线相交，从与曲线相交点作与x轴的平行线与y右轴相交，以此两个交点作为10%和80%，向外延伸得到0 和100%两点，构建一个新坐标系。新坐标系的0 和100%两点对应的x值为dmin和dmax，即为筛选后保留滤料范围，之外的全部筛除。

图1 NURBS 样条曲线插值计算图Fig.1 NURBS spline curve interpolation calculation chart

3 Lagrange 抛物线插值计算

滤料筛分试验结果是筛孔径xi与通过筛孔的百分数yi之间的相关数据，yi=f(xi)，i=0,1,…n，这个由离散点构成的函数表(xi,yi)，可构造函数f(x)近似表达，通过插值计算d10=0.9 和d80=1.26 通过的滤料质量。

Lagrange 多项式插值的形式为：

满足插值条件Ln(xi)=yi，i=0,1,…n的插值多项式为：

其中，插值基函数为：

由（4）可知，当n=2 时，为抛物线插值，即：

参与Lagrange 抛物线插值计算的是筛孔径xi和通过该号筛的以百分比计的砂量yi，实验数据按xi从小到大顺序排列，用Excel 的交换格式.csv 文件存储。为了较容易实现程序计算，将（6）和（7）写成等幂形式：

根据Lagrange 抛物线插值算法，自定义内插函数p2d，根据某粒径内插对应的通过的砂量，程序代码如下：

程序可在Excel VBA 上运行，计算出P10和P80为40.355%和74.470%，等分可得到P0=35.481%和P100＝84.217%，筛选出来的新砂最小粒径dmin和最大粒径dmax为0.861 mm 和1.391 mm。而按NURBS 样条曲线插值计算的P10和P80为40.360%和74.390%，dmin和dmax为0.862 mm 和1.397 mm，两种方法计算的结果相吻合。

4 结语

以筛分数据作为控制点和节点矢量，在Auto CAD 平台上通过VBA 编程创建NURBS 样条曲线，拟合点公差达到1.0000E-10，使滤料筛选过程准确直观、简便快速。而根据Lagrange 抛物线插值算法编程计算，按设计要求的滤料粒径d10和d80，计算相对应的滤料质量百分比P10和P80，同样可以计算出筛选的新砂最小粒径dmin和最大粒径dmax。使用两种方法对滤料筛选，其计算结果相吻合。

工程师可根据过滤池的设计要求修改滤料的d10和k80，直接得到相对应的滤料粒径级配参数dmin、d10、d80、dmax、K80等，使滤料筛选过程准确方便。