张国平，牟忠德

江苏省肿瘤医院，江苏省肿瘤防治研究所，南京医科大学附属肿瘤医院(南京，210009)

1 压缩感知

压缩感知基本构成通常包括稀疏表示、编码测量、重构算法等内容[1-3]，其理论框架详见图1，该理论适合对信号的采样和编码，对原始的信号线性投影以后，获得测量信号值，然后通过重构算法，对该测量值进行重构，进而得到重建的信号[4-5]。

图1 压缩感知框架示意图

(1)

其中，φ表示对信号的稀疏变换域，Y表示信号X在φ域上的投影值。如果Y向量中只有K个系数，不为零或远大于其它的系数，则称X是K稀疏的，或者是可压缩的，即可得信号X的稀疏表达如式(2)[6-7]。

Y=φTX

(2)

2)根据压缩感知理论中的非相关性准则，使用矩阵ψ对信号Y进行观测，经式(3)可得测量矩阵。

S=ψφTX

(3)

3)假设Θ=ψφT，则有S=ΘX，最后在l0范数框架下优化求解X，结果如下：

min‖φTX‖0s.t.ΘX=S

(4)

对于这个欠定方程(M

2 重构算法分析

在压缩感知理论中，从稀疏系数中重构出原始信号就是信号的重构过程，重构算法可以转化为线性规划(Linear Programming，LP)问题的求解，直接求解方法即转换为求解最小l0范数问题[8-9]。

2.1 BP算法

通过求解最小l0范数，来解决信号重构问题，即求解最小l0范数下的最优化问题，以求得最优化的重构结果，但是其计算复杂度较高。但是找到合适的稀疏信号，也就等于解决了式(4)的问题

(4)

其中，‖c‖0是序列{Ck}中非零项的个数。利用BP算法来解决式(5)的问题

(5)

BP算法的求解过程中，原始信号记为x，φ，为观测矩阵，基矩阵φ已知，求解s等同于求解x，其中s，xRN，yRM，M

2.2 OMP算法

OMP算法是基于匹配追踪算法的正交匹配追踪算法，来解决信号重构问题[10-12]，该算法的具体步骤如下：

1)寻找残值r和矩阵ψj积中的最大元素的索引λ；

2)将索引集更新，记录经由传感矩阵φ进行重构后的原子集合，详细表示方式如下：

Λt=Λt-1∪{λt}

(6)

φt=[φt-1，ψλt]

(7)

3)实现式(8)中的最小二乘法；

(8)

4)借助式(9)，更新残值，t=t+1；

(9)

5)对Step 4中t进行判断，满足条件t>K，则迭代停止；如果不满足，则继续执行步骤 1。

2.3 StOMP算法

StOMP算法是由Donoho等对正交匹配算法进行改进，并提出了分段正交匹配追踪算法，该算法在正交匹配追踪算法的基础上做了简化[13-14]。StOMP算法具体步骤如下：

1)对数值进行初始化设置，设定最大的迭代步长，求解最大的迭代误差e，s=1;

2)将小波变换后，获得的变换系数，记为稀疏矩阵y，然后随机选取测量数据，得式(10)：

Θs=φTrs-1

(10)

3)对Θ进行如式(11)的规范化处理，其中K为Θ信号的长度

(11)

4)对Θ进行阈值处理，如式(12)：

∑S={j:|ΘS(j)|>λS}

(12)

5)最新合并两次变换所得的坐标索引，并对IS集合进行一致化处理如式(13)，得IS：

IS=IS-1∪ ∑S

(13)

6)求解线性方程组，min(‖xs‖1)s.t.y=φXS，计算公式如(14)。

(14)

7)计算残差rS，如式(15)：

rs=y-sS

(15)

8)稀疏解的精度判定，如rs

3 实验结果与分析

3.1 使用Shepp Logan的实验结果

为了比较不同的压缩感知图像重构算法，我们选择Shepp Logan模型来作为测试图像，对其取Haar小波变换并进行仿真实验，分别采用BP算法、OMP算法、StOMP算法进行图像重构，在相同的采样频率下，比较其重构时间和重构效果如图2所示。

图2 采样率为10%的Shepp Logan重构结果

3.2 使用真实MRI图像的实验结果

为比较不同采样频率，在实际的临床MRI医学图像条件下，观察压缩感知算法的重建效果，在欠采样率为10%-50%范围内，分别选择15%和25%两种采样情形下，观察这三种算法对实际的临床MRI医学图像的重构效果如图3和图4所示。

4 结论

综上所述，可以得到如下结论：(1)借助压缩感知理论，通过合理的算法设计，是可以近似重构出医学图像的，并且整体图像质量不会明显下降。(2)在相同欠采样率的情况下，BP算法的重构结果是最好的，但运算时间最长；OMP算法的重构结果次之，是运算时间比BP算法少；StOMP结果最差，不适用于精确的图像重建。

图3 采样率15%的MRI重构结果

图4 采样率25%的MRI-Brain重构结果