江苏省天一中学 孙承辉

数学文化是贯穿整个高中数学的重要内容.目前，以数学文化为背景的试题越来越频繁地出现在各类考试中，这些试题构思巧妙、内涵丰富，既考查数学知识和能力，又加深了学生对古今中外数学文明的了解.下面笔者结合自己命制的一道数学文化试题，谈谈命题的背景及感想.

一、原创题展示

原创题《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则六十四卦所代表的数表示如下：制数；

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤images/BZ_6_723_1791_764_1852.png000000 0剥images/BZ_6_723_1884_764_1947.png000001 1比images/BZ_6_723_1979_764_2041.png000010 2观images/BZ_6_723_2073_764_2135.png000011 3

（2）若某卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；

（3）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻两两相邻，则记5分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻均不相邻，则记1分.设任取一卦后的得分为随机变量X，求X的概率分布和数学期望.

二、题目的解答

本题的解法如下：

●解（1）“否”卦表示的二进制数是000111，相应的十进制数是1×20+1×21+1×22+0×23+0×24+0×25=7；“泰”卦表示的二进制数是111000，相应的十进制数是0×20+0×21+0×22+1×23+1×24+1×25=56.

（2）四个阳爻和两个阴爻一共可以构成C46C22=15个卦，在对应的15个六位二进制数里，每个数位上的1都出现次，所以，所有这些卦表示的十进制数的和是（20+21+22+23+24+25）×10=630.

（3）三个阳爻和三个阴爻一共可以构成C36=20个卦，其中三个阳爻两两相邻的卦共有4个，只有两个阳爻相邻的卦有A24=12个，三个阳爻彼此不相邻的卦有C34=4个卦.所以，随机变量X的概率分布列为

概率分布表为

X 1 2 5 P 1 5 35 15

三、题目的命制背景

命制这道试题时，笔者正在阅读易中天的著作《中国人的智慧》，书里介绍了《周易》与二进制之间的关系.德国数学家莱布尼兹曾在一份手稿中这样写到：“1与0，一切数字的神奇渊源.这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝.”因此，笔者以六十四卦和二进制计数为背景进行命题.

考虑到学生对《周易》和二进制不一定很了解，所以题干对两者进行了阐述.《周易》中的卦是由阳爻“ ”和阴爻“ ”构成的，二进制的思想是将阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”.六十四卦中的每一卦含有六个爻，所以与一个六位二进制数一一对应，也就与十进制下0～63的每个自然数一一对应.为了便于学生理解，题目以表格的形式，给出了四个特殊的卦（坤、剥、比和观）的卦号与相应的二进制数、十进制数之间的互相转化.

第一小题主要考查学生对题意的理解程度.“否极泰来”是学生们非常熟悉的成语，但对其蕴含的否卦和泰卦是哪种形式可能不甚了解，所以该小题给出了它们的卦号，要求先转化为二进制数，再转化为十进制数.只要理解了题干的意思，这一小题是非常容易解答的.同时，这小题也让学生更加深刻地理解为什么“否极”就能“泰来”.

第二小题研究由四个阳爻和两个阴爻构成的卦，也就是把四个相同的1和两个相同的0排成一排，根据排列组合的知识，共有种情况.如果把这些情况一一列举出来，再求它们的和，运算量显然较大.因此，可以先考虑六位二进制数的每个数位上1出现的次数，例如，这样的二进制数，已填的1表示十进制数1×22，其余空位上应该再填三个相同的1和两个相同的0，共有种情况，所以，上图中已填的1所表示的总和为22×10.以此类推，所有15个卦表示的十进制数的和是（20+21+22+23+24+25）×10=630.这一小题告诉我们，遇到复杂问题时，不妨从特殊情况入手，找一找解题的规律，必要时可以分类讨论，将问题分解成若干个小目标后逐个击破.

第三小题在第二小题的基础上，将两组相同元素的排列问题变成概率分布问题.该小题是将三个相同的1和三个相同的0排成一排.对于三个1两两相邻，可以采用捆绑法，相当于捆绑后的1与三个相同的0排列，共有4种情况；对于只有两个1相邻，可以采用插空法，三个0形成了4个空，将两个相邻的1和另一个不相邻的1插到这4个空，共有A24=12种情况；对于三个1均不相邻，只需将这三个1插到三个0形成的4个空，共有C34=4种情况.然后，根据以上的结果即可求出随机变量X的概率分布.这一小题难度适中，主要运用简单的排列组合知识解决概率分布问题.

总体来说，这道题可以考查学生的阅读理解能力，要求学生读懂题中的数学文化背景，同时运用类比推理解决二进制与十进制问题，以及运用排列组合解决简单的计数问题，从而体现能力立意.

四、题目的文化背景拓展

“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”两仪指的是阴阳，一阴一阳谓之道.阴阳相生相克，也可以相互转化，例如，同样是山，山之北称阴，山之南称阳；水则相反，水之北称阳，水之南称阴，江阴就是在长江的南面.单纯的阴或单纯的阳不可能存在，物理中也有这种现象，比如一个磁体无论多么小都有两个磁极（N极和S极）.

《周易》用上述两仪即阳爻“ ”和阴爻“ ”建立起了符号系统，然后生成了四象、八卦和六十四卦.它用最简单、最朴素的符号推演形成了一套理论，这与公理化体系何其相似！经历了漫漫历史长河，六十四卦里的一些词语早已融入到我们的日常生活，除了题目中的成语“否极泰来”，还有“三阳开泰”、“革故鼎新”、“天行健，君子以自强不息”（乾卦）、“地势坤，君子以厚德载物”（坤卦），等等.又如，“穷则变，变则通，通则久.”因时因地而思变化，《周易》的变易思想可谓创新思想的源头活水.

题目中提到《周易》所蕴含的二进制，是由德国数理哲学大师莱布尼茨于1679年发明的，他曾惊叹：“易图是流行于宇宙间的科学中最古老的纪念物.”二进制也是现代计算机内信息的表示原理.20世纪30年代，“计算机之父”冯·诺依曼提出采用二进制作为计算机的制数基础.从二进制的原理来看，它只有1和0两个状态，能够表示开关的接通和断开、电位电平的高低、逻辑代码的真和假等，而且二进制的运算法则少，运算简单，例如十进制乘法九九口诀有45条公式，而二进制乘法只有四条公式，这些优点使计算机运算器的结构得以大大简化.

由此可见，古老的《周易》跨越时空，与二进制携手为现代文明赋予了新的意义.因此，我们在学习数学时，既要了解数学的知识、思想、方法，也要了解它们的形成和发展，更要了解它们在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义.