江苏省扬州市新华中学 王梅蓉 龚海滨

在一次拓展课课后作业中，同学们仔细研究了下面这个问题：

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

对于第（2）问同学们形成了五种各具特色的解题思路.

一、思路分析

思路1 利用斜率之和为0

当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；当l与x轴垂直时，因为OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB；当l与x轴不重合也不垂直时，如图1，根据图形的特征，把要证的∠OMA=∠OMB转化为直线斜率之间的关系kMA+kMB=0.设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及斜率公式依靠代数运算即可证得结论.

图1

思路2 利用角平分线性质

当l与x轴不重合也不垂直时，如图2，设点O到直线MA，MB的距离分别是d1，d2，直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则MA：y1x+ （2-x1）y-2y1=0，MB：y2x+（2-x2）y-2y2=0.根据角平分线的性质，将要证的∠OMA=∠OMB转化为证明d1=d2，即证再将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可证得结论.

图2

思路3 利用三角函数值相等

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），要证∠OMA=∠OMB，只要证tan∠OMA=tan∠OMB，如图3，过A点作AA′⊥x轴，垂足为A′，过B点作BB′⊥x轴，垂足为B′，又只要证，即证以下同思路2.

图3

思路4 利用三角形相似

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），如图3，过A点作AA′⊥x轴，垂足为A′，过B点作BB′⊥x轴，垂足为B′，要证 ∠OMA=∠OMB，只要证△MA′A∽△MB′B，又只要证即只要证以下同思路2.

思路5 利用向量数量积

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量的数量积公式将∠OMA和∠OMB看成是对应的两向量的夹角，则∠OMA=即证两边平方，化简得以下同思路2.

二、探究解疑

学起于思，思起于疑.常有疑点，常有问题，才能常有思考，常有创新.一道数学题解出答案并不是解题思维活动的结束，而是更深入探究的开始.

问：点M是个特殊点吗？它的背后是否有一些我们没有发现的东西呢？

哦，原来点M恰好是椭圆右准线与x轴的交点.于是我们有如下结论：

结论1设AB是过椭圆的焦点F（c，0）（c＞0）的弦，M为椭圆的右准线l与x轴的交点，则MF平分∠AMB.

问：再回顾以上几种思路，是否可以将其优化呢？

不难发现，我们可以将思路4优化一下，借助于椭圆第二定义来证明三角形相似.

图4

证明：如图4，过A，B两点分别作右准线l的垂线，垂足分别是A1，B1，则从而又因为由 ∠AA1M=∠BB1M=90°，知△AA1M∽△BB1M，从而 ∠A1AM=∠B1BM，所以∠AMF=∠BMF，则MF平分∠AMB.

上述这种解法灵活运用了圆锥曲线的第二定义，取得了简捷、合理的解题效果.学好数学最重要的法宝就是对数学概念的精通.

“特殊化和类比是获得发现的伟大源泉”，类比可以引领我们提出新问题、发现新结论、开创新方法.

问：椭圆、双曲线、抛物线有很多相似的性质，双曲线和抛物线的焦点弦是否也有同样的性质呢？

关于双曲线、抛物线的焦点弦与相应准线同学们可以猜想并证明如下性质：

结论2设AB是过双曲线的焦点F（c，0）（c＞0）的弦（点A，B都在双曲线的右支上），M为双曲线的右准线与x轴的交点，则MF平分∠AMB.

结论3设AB是过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点）的弦，M为抛物线的准线与x轴的交点，则MF平分∠AMB.

问：能将上述结论中的圆锥曲线的焦点一般化吗？例如，在结论1中，若将F（c，0）变为椭圆内定点P（m，0），则点M的坐标又是什么？MP平分∠AMB仍然成立吗？

结论4如图5，设P（m，0）为椭0）内一定点，过点P作直线交椭圆于A，B两点，若直线与x轴交于点M，则MP平分∠AMB.

将结论4类比到双曲线、抛物线可以得到同样的结论：

结论5已知双曲线过点P（m，0）（m＞a）作直线交双曲线于A，B两点（点A，B都在双曲线的右支上），若直线x=与x轴交于点M，则MP平分∠AMB.

图5

结论6过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上的任意一点P（m，0）（m＞0）的作直线与抛物线交于A，B两点，点M是点P关于原点的对称点，则MP平分∠AMB.

通过探究，我们感受到了圆锥曲线的和谐美和统一美，学会了类比、猜想、证明等科学研究的方法.与圆锥曲线有关的问题一般都是非常有趣的，值得研究的，如能深入其中，我们一定会被它形式的美妙、内容的和谐所吸引，流连忘返，美不胜收！

高考题有很强的代表性，我们在研究高考题时要深挖问题的本质，重视和加强对问题的拓展、引申和变式研究，最大可能地让其功能得到充分的发挥，这才是学习之本.过程往往比结果更为重要，探索问题的意义已经远远超过了问题解决的本身.学习数学就应该这样勇于探索，敢于创新！