福建省漳州市教育科学研究院(363000) 张兵源

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

圆锥曲线压轴试题经常出现在高三年综合卷当中.这些试题虽然不具有高考试题的权威性,但同样是命题老师智慧的结晶.此类试题往往具有丰富的命题背景,背景熟悉却内涵深厚.研究此类试题不仅能够更好地把握解析几何的本质,还能透过试题挖掘隐含的命题规律,更能将其推广到一般情况,从而提升思维,锻炼数学核心素养.下面以华中师范大学考试研究院监制的一道解几联考试题为例进行说明.

一、试题呈现

试题(2019届湖北省8校高三第一次联考第20题)已知点F(4,0),,ΔABC的两顶点且点C满足

(1)求动点的轨迹方程;

(3)过点F的动直线l与曲线C′交于不同两点M,N,过点M作y轴垂线l′,试判断直线l′与直线NH的交点是否恒在一条定直线上?若是,求该定直线的方程;若不是,请说明理由.

二、试题分析

试题背景平和,取材于课本,但又高于课本.从知识层面上看,主要考查求动点的轨迹方程(阿氏圆,椭圆)以及证明交点在定直线上,均是解析几何中的热点难点问题.从能力层面上看,主要考查学生的推理论证能力,运算求解能力,侧重考查逻辑推理,数学运算素养.试题分为三步,梯度明显,既能够让绝大多数考生有所收获,又能够区分出不同层次的考生.以下着重探讨第三步.第三步要证明的是直线与直线的交点恒在一条定直线上,解决思路应该是联立两条直线的方程,求出交点坐标,证明交点的横坐标或者纵坐标与参数无关.

三、试题解析

所以直线l′与直线NH的交点恒在一条定直线上.

四、试题反思

五、试题推广

推广1如图1,已知椭圆(a＞b＞0),点,F(c,0).过点F的动直线l与椭圆E交于不同两点M,N,过点M作y轴垂线l′,则直线l′与直线NH的交点T恒在准线上.

图1

下面,借助Geogebra软件验证上述结论.

第一步:点击菜单栏中的滑动条,构造两个变量a,b;

第三步:在输入框中输入:焦点[c],得到椭圆的右焦点F;

第四步:过右焦点F作出直线l,利用交点工具作出与椭圆的交点M,N;

第五步:过点M作y轴垂线l′;

第六步:在输入框中输入:

H=((2a2-b2)/(2sqrt(a2-b2)),0),得到点H;

第七步:作出直线NH,并作出直线l′与直线NH的交点T;

第八步:用鼠标选中点T,单击右键,选中跟踪.然后拉动直线l,发现点T的轨迹为一条竖直的直线;

第九步:在输入框中输入:x=a∧2/sqrt(a∧2-b∧2),作出椭圆的准线,发现上述轨迹与该直线重合.

图2

推广3如图3,已知抛物线E :y2= 2px,点过点F的动直线l与抛物线E交于不同两点M,N,过点M作y轴垂线l′,则直线l′与直线NH的交点T恒在准线上.

图3

推广2和推广3的证明以及它们的Geogebra演示均与推广1的相应过程相仿,此处不再赘述.

六、教学启示

波利亚指出,好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很可能附近就有好几个.典型试题好比蘑菇,教师如果能以这些典型试题为出发点开展蘑菇式的变化探究,可以达到解法思路打通后讲一题,通一类,得一法的教学效果.