郭惠勇， 黄 淇

(重庆大学 土木工程学院； 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆 400045)

近年来，基于时间序列模型进行损伤识别研究的方法得到了国内外学者的广泛关注[1].基于时间序列的损伤识别方法可以直接利用结构的加速度响应等时程数据，对其进行统计分析并建立相关的时序模型，并进行损伤的识别和判定.目前，采用线性时间序列模型进行损伤识别的研究较多[2-3]，广泛采用了自回归(AR)、有源自回归(ARX)、自回归滑动平均(ARMA)、有源自回归滑动平均(ARMAX)等线性模型进行损伤识别研究，并取得较好的成果.Fassois等[4]对基于时间序列的损伤识别方法进行了初步综合研究，并结合实验验证了这些方法的实用性和有效性.Zheng等[5]将ARMA模型和倒谱距离相结合，对一个层间剪切模型进行了识别研究.模拟测试结果显示了倒谱距离指标的高效性以及白化滤波技术对识别结果具有改良作用.Silva等[6]则基于ARX模型对结构进行了损伤识别研究，其利用了残差和主成分分析对美国土木工程协会(ASCE)的基准结构进行了损伤识别验证.Nair等[7]则采用了ARMA模型对结构振动数据进行了数据拟合，利用了AR部分的前3阶系数函数构造损伤指标，同样也利用ASCE的基准结构进行了损伤定位分析.Saaed等[8]则利用了线性ARMAX模型进行了钢框架的损伤检测研究.罗德河等[9]则基于ARMAX模型计算了系统的脉冲传递函数，利用脉冲响应系数建立了损伤指标，并对混凝土坝进行了损伤诊断研究.

在实际工程中，结构的损伤往往具有非线性特性，例如损伤裂纹在结构时程荷载作用下会产生张开和闭合效应，这样采集的响应常具备时程非线性特征，如采用线性模型则难以精确描述非线性损伤状况，只能给出近似的结果.为了更为准确地提取时间序列中的非线性损伤信息，有必要采用非线性模型.Bollerslev[10]提出了一种广义自回归条件异方差(GARCH)模型，该模型是一种较好的非线性模型，最早应用于金融领域时间序列波动率的研究，现在已逐步应用于其他领域[11-13].Chen等[13]利用了ARMA/GARCH组合模型进行了结构健康监测研究，并构建了一种损伤敏感特征算法进行损伤识别.但是，该类算法只是对自由度数据信息进行建模，并不能直接有效反映单元刚度损伤状况，需要利用刚度指标进行损伤转换，故本文提出了一种基于GARCH模型的罚函数刚度转换指标.

1 非线性信号的GARCH建模方法

1.1 GARCH模型基本原理

GARCH模型是一种时间序列波动率的预测方法，可以用过去时间的方差和误差信息来预测当前时刻的波动率方差.由于GARCH模型对于方差时变的时间序列信号具有较好的预测功能，该模型已经应用于股票预测、汇率估计以及目标探测等领域[14]，并取得了较好的预测结果.基于时间序列预测的GARCH模型原理如下.

对于一个离散的时间序列数据集{yt}，t-1时刻可以利用的已知信息为ψt-1，就可以利用该已知信息得到在t时刻预测值，记为yt|ψt-1.这时，在t时刻条件预测误差εt可以表示为

εt=yt-E[yt|ψt-1]

(1)

式中：t∈[1,N]，N为时间序列数据总的时刻数.则在t时刻时间序列数据的条件方差vt可以表示为

(2)

可以利用过去I个时刻的条件方差和J个时刻的条件预测误差构建当前条件方差vt的函数关系：

(3)

这样，就定义了一个GARCH(I,J)模型.GARCH(I,J)模型可以表示为

vt=ζ0+ζ1vt-1+ζ2vt-2+…+

(4)

式中：ζ0、ζi(i=1,2,…,I)和ηj(j=1,2,…,J)均为GARCH模型的参数，并且满足

ζ0>0,ζi≥0,ηj≥0

1.2 非线性信号的GARCH建模

结构构件发生裂纹等损伤后，在时程荷载作用下会产生时程响应数据集{yt}.由于裂纹的张开和闭合效应，张开时刚度降低，闭合时刚度恢复，这时候的时程响应会包含非平稳的非线性信号和平稳的线性信号.为了有效提取该非线性信号，为后续的非线性损伤识别建立基础，需要对时程非线性信号进行有效的提取和建模，并需要过滤掉时程响应中包含的线性信息.可以通过线性模型(如AR模型)来过滤时程响应中的线性信息，保留待识别的非线性误差信息，具体为

(5)

式中：δ为AR模型的一个常量；p为模型自回归的阶数；φi为模型自回归系数.通过测量信号和自回归模型可以计算非平稳误差信息，再通过下式可以获取条件方差vt：

(6)

式中：zt为均值为0、方差为1的白噪声序列.利用条件方差和条件误差项可以建立GARCH(I,J)模型：

(7)

1.3 参数估计和模型定阶

由于GARCH(I,J)模型的参数估计比较复杂，在实际的应用当中通常用其简化的一些形式，例如GARCH(1,1)模型或者GARCH(0,J)模型.其中GARCH(1,1)模型阶数已经确定，所以主要分析GARCH(0,J)模型的参数估计.可采用极大似然函数估计模型参数，建立GARCH(0,J)似然函数：

f(ε1,ε2,…,εN|θ)=

(8)

式中：θ为未知估计参数.略掉边际分布，可得条件似然函数为

f(ε1,ε2,…,εN|ε1,ε2,…,εJ,θ)=

(9)

则对数条件似然函数为

lnL(θ)=

(10)

对于极大似然估计，上式第1项不含参数，可忽略，故上式修改为

(11)

由于GARCH模型是建立在自回归模型提取的残差序列{εt}的基础上，需检验残差序列的GARCH效应，并确定GARCH模型的阶数.具体可以使用赤池信息准则(AIC)或贝叶斯信息准则(BIC)进行GARCH模型的定阶.采用AIC可以表示为

AIC=-2lnL+2m

(12)

式中：lnL和m分别为最大似然函数和估计参数数量.AIC之所以能够用来确定一个模型的阶数，是因为一个最优的模型阶数总能产生一个最小的AIC值.在实际应用中，应该尽量选取较小的阶数以简化计算.

2 基于GARCH效应的损伤识别及其改进罚指标

2.1 时域非线性刚度分析

在实际工程中，结构出现的损伤往往具有非线性特性，例如杆件裂纹、节点螺栓脱落等损伤.在时程荷载作用下会产生张开和闭合效应，当裂纹张开时，构件的刚度会降低为裂纹处净截面对应的刚度，当裂纹闭合时，其刚度恢复为原始刚度，这时的结构响应就会具有时域非线性特性，其刚度也具有双线性刚度特征.因此，双线性刚度方法可以用来模拟结构的时域非线性损伤，该方法可以较为准确地描述结构构件在荷载作用下裂纹的张开闭合效应引起的刚度变化，并保证了裂纹张开时的侧向刚度比裂纹闭合时的刚度小，具体为

ki(xi(t))=

(13)

式中：xi(t)(i=1,2,…,n)和xi-1(t)(i≠1)分别为第i层和第i-1层的t时刻的侧移，当i=1时,xi-1(t)=x0(t)=0，x0(t)为结构基础的侧移；ki(xi(t))表示第i层的层间刚度；α为结构的非线性损伤系数，如果α=0，刚度是未折减的，也就意味着系统未损伤，如果α=1，意味着模拟非线性损伤源的构件完全破坏.通过对非线性损伤的刚度分析，可知其对应的时程响应往往是非平稳的，需要采用GARCH等模型从时程响应中提取相应的非线性特征.

2.2 基于GARCH的损伤识别及基本刚度损伤指标

通过对非线性损伤时程响应进行GARCH建模，以提取非线性损伤产生的非平稳信息，并与无损状态下的时程响应非平稳信息进行对比，以消减环境等不确定因素的干扰，从而可以提取非线性损伤信息并进行识别.其基本损伤识别步骤如下：

(1) 获取基本状态和损伤状态下的加速度响应，然后进行差分满足数据平稳性要求，利用式(5)消减线性影响，获取相应的残差数据并检验GARCH效应.

(3) 利用无损状态和损伤状态下的各个楼层的归一化差值，构建刚度损伤指标，并进行结构非线性损伤识别.其中构建基本刚度损伤指标的方法为：由于传感器测量的响应数据主要是楼层处的响应，该位置反映了该处自由度的数据变化.当从一个具有非线性损伤的n层层间剪切结构上采集加速度响应时间序列，线性AR模型就不能够完全拟合该时间序列.利用消减线性方法可以提取出残差序列{εt}，该序列条件异方差序列{vt}不再是常量，会随着时间上下波动.因此，条件异方差序列{vt}的方差s(vt)将是一个非0值，所以可以利用该值进行非线性识别.则基于第j层自由度的概率化条件方差变化为

(14)

由于层间刚度与自由度不具有一一对应关系，采用基于自由度的方法难以直接观测出层间非线性刚度损伤，则可采用基本GARCH刚度损伤指标(简称为基本GARCH指标)：

(15)

可令Q0=0，这样上式完全满足概率化要求，可进行基于层间刚度的损伤识别.

2.3 改进GARCH罚指标

由于基本GARCH指标只是简单利用了相邻自由度的信息，其仍难以准确判断损伤位置，所以，本文借鉴罚函数原理提出了一种改进的GARCH刚度损伤指标，以进一步提高损伤识别的准确性.考虑基本GARCH指标主要因相邻的不相关因素而对损伤位置识别产生干扰，故借鉴罚函数原理对损伤识别指标进行改进，改进后的刚度损伤罚指标(简称为改进GARCH罚指标)可表示为

(16)

(17)

式中：γ为惩罚参数，该指标利用惩罚项来消减相邻的不相关因素对损伤位置判定的干扰.

3 数值计算

考虑如图1所示的8自由度层间剪切结构，其中每层的质量均为100 kg，层间刚度为1 MN/m，采用的瑞利阻尼参数分别为 0.984 2 和0，罚参数为0.4.该结构的非线性损伤采用式(13)的双线性刚度来模拟，这样可以通过一个简化的方式来模拟相邻楼层间的柱子在荷载作用下，水平裂纹的张开闭合引起的刚度变化，从而使裂纹张开时的刚度比裂纹闭合时的刚度小.为了充分评价GARCH模型和损伤指标的有效性，考虑了该8层结构每层刚度k依次发生损伤的情况，每层均考虑了损伤程度20%和30%的折减，这样共有16种工况.利用白噪声数据作为基础激励数据，运用Wilson-θ算法可得出该8层建筑结构的每层的加速度响应时间序列，其中计算步长为0.05 s.

图1 8层剪切结构Fig.1 Eight-storey shear structure

为了确保与实际工程的一致性，根据经验，每条加速度响应时间序列都会加入5%的测量噪声.本文采用通过巴特沃斯低通滤波器处理的随机白噪声序列来模拟结构响应加速度的测量噪声，将白噪声序列振幅调整到加速度响应值同一水平，再乘以设定的测量噪声水平值得到模拟的测量噪声.将该调整后的测量噪声与原始加速度响应时间序列相加即可得到含有测量噪声的加速度时间序列：

(18)

图2 1～8层在20%损伤下的识别结果Fig.2 The damage detection results for 1st-storey to 8th-storey with 20% damage degree

采用简化的GARCH(0,J)进行计算，利用AIC进行定阶，通过定阶计算选取了J的阶数为5，经检验可知该阶数适合于该GARCH模型，并采用最大似然估计法进行了参数估计，这样可基于该模型和相应刚度指标进行损伤识别.为了进行对比，本文也采用了Xing等[15]提出的基于AR模型和倒谱测距指标的损伤识别方法，并利用与本文类似方法将其自由度指标转化两种刚度指标，即基本倒谱指标和倒谱罚指标.由于损伤前后的时程响应不同，故可以通过损伤前后的时域信号构建AR模型，并采用倒谱分析计算损伤前后模型的倒谱测距，倒谱测距可以反映损伤引起的改变，在倒谱测距的基础上仿照式(15)和(16)构建相应的基本倒谱指标和倒谱罚指标.基本GARCH指标和改进GARCH罚指标主要是利用非线性信号引起的条件方差变化来进行识别，并利用概率化条件方差变化构建相应的基本GARCH指标和改进GARCH罚指标.

首先，依次考虑第1层至第8层分别有20%非线性损伤，该8个工况的计算结果如图2所示.图中纵坐标为剪切结构的层数，共有8层；横坐标为损伤度，区间为[0,1]，0表示无损伤，1表示完全损伤.由图2可见，基于非线性GARCH模型的基本GARCH指标和改进GARCH罚指标的识别效果相对更好，基于线性AR模型和倒谱测距的基本倒谱指标和倒谱罚指标的识别结果欠佳.这主要由于时程响应中包含了非线性信息，则基于非线性模型的损伤指标识别效果相对会更好.另外，改进GARCH罚指标的识别结果要好于基本GARCH指标，例如基本GARCH指标对于第1层损伤时的计算结果会出现一些偏差，而改进GARCH罚指标的计算结果更好，因为该指标削弱了相邻的不相关因素对损伤位置判定的干扰.

然后，依次考虑第1层至第8层分别有30%非线性损伤，该8个工况的计算结果如图3所示.由图3可见，基于非线性GARCH模型的两个指标依然好于基于线性AR模型的两个倒谱指标，这依然是由于时程响应中包含了非线性信息，则基于非线性模型的损伤指标识别效果相对会更好.另外，改进GARCH罚指标的识别结果仍要好于基本GARCH指标，这主要是由于改进GARCH罚指标削弱了相邻的不相关因素对损伤位置判定的干扰.由于裂纹的张开和闭合效应会使杆件的刚度产生突变，从而使时程响应信号产生非线性的变化，识别结果主要是提取出这种非线性的信息，来判断非线性损伤的位置.

4 实验研究

采用3层框架进行非线性损伤实验研究，具体结构见图4(a)，该结构是由铝柱和铝板通过螺栓连接而成，并将该结构安装在单向轨道上以保证它只能在一个方向上滑动.每一层的铝柱(17.7 cm×2.5 cm×0.6 cm)和柱顶、柱脚的铝板(30.5 cm×30.5 cm×2.5 cm)共同构建了一个3自由度的系统.此外，如图4(b)所示，在最顶层的楼板中间固定了一根悬臂柱(15.0 cm×2.5 cm×2.5 cm)，该悬臂柱和固定在下一层楼板上的缓冲器共同构成了一个非线性损伤源.当框架结构产生振动时，两者发生相互作用，该作用效果类似于“呼吸裂纹”[16]，可有效模拟结构的非线性动力学行为.缓冲器和悬臂柱的之间的距离可以调节，用来获取在特定激励下不同程度的非线性损伤，该非线性损伤源也具有双线性刚度特点.加速度传感器安装在每层楼板的中间位置用来记录结构每层的加速度响应.

图4 3层框架结构Fig.4 The three-storey frame structure

损伤的工况如表1所示.主要是通过改变悬臂柱和缓冲器之间的距离来引入不同程度的非线性损伤，随着距离的增加，非线性程度降低.通过模型定阶和检验，依然选取GARCH(0,5)模型，并估计出模型参数.同样采用了基于AR模型的基本倒谱指标和倒谱罚指标进行对比研究.本实验无损时基准结构的加速度(a)响应曲线如图5所示，工况2的加速度响应曲线如图6所示，图中的采样时间间隔为0.005 s，通过对比相应通道的波形图轮廓，例如对比图5和图6的第3通道波形图轮廓，可看出两者波形轮廓不同.

工况1至工况3实验模拟了非线性损伤问题，随着间隙的增大，其非线性程度将降低，当间隙足够大时，缓冲器和悬臂柱将脱离接触，从而不具有时域非线性特性.工况1的非线性损伤识别结果如图7所示，图中横坐标为框架结构的层数，共有3层.由图7可见，在较强非线性情况下，基于非线性GARCH模型的两种指标的损伤识别结果较好，基本GARCH指标和改进GARCH罚指标的损伤值均较高，而基于AR模型的基本倒谱指标和倒谱罚指标相对欠佳.另外，改进GARCH罚指标的识别效果明显优于基本GARCH指标.

工况2的非线性损伤识别结果如图8所示，由图8可见，由于间隙变大，非线性减弱，基于非线性GARCH模型的两种指标的损伤识别结果依旧较好，基本GARCH指标和改进GARCH罚指标的损伤值仍较高，但相对于倒谱指标的识别优势已经减弱.从4种指标的综合对比可知，改进GARCH罚指标的识别效果最好，明显优于其他3个指标.

表1 3层框架结构的非线性损伤工况

Tab.1 The nonlinear damage cases of the three-storey frame structure

工况间隙/mm10.0520.1030.20(弱非线性)

图5 基准状态下的加速度响应曲线Fig.5 Acceleration response time histories in basic state

图6 工况2的加速度响应曲线Fig.6 Acceleration response time histories in Case 2

图7 工况1的损伤识别结果对比Fig.7 The damage detection results in Case 1

图8 工况2的损伤识别结果对比Fig.8 The damage detection results in Case 2

工况3的非线性损伤识别结果如图9所示，从图9中可知，随着间隙的进一步变大，非线性程度持续减弱，该状态已呈现为弱非线性问题，基于非线性GARCH模型指标的损伤识别结果虽然相对较好，但相对于倒谱指标的识别优势也进一步减弱.不过，从4种损伤指标的对比可知，改进GARCH罚指标的识别效果仍最好，仍优于其他3个指标.由3种工况可知，随着缓冲器和悬臂柱间隙的增大，其非线性程度将明显降低，当间隙足够大时，缓冲器和悬臂柱将脱离接触，从而不具有时域非线性特性.因此，工况1到工况3的非线性程度依次降低，而3种工况下第3层的改进GARCH罚指标识别结果也是依次降低，说明该指标很好地反映了缓冲器和悬臂柱间隙距离改变引起的非线性程度变化.其中，工况3可考虑为弱非线性问题，其识别结果相对于前两个工况最差.因此，改进GARCH罚指标具有一定的非线性程度的识别能力.

图9 工况3的损伤识别结果对比(弱非线性状态)Fig.9 The damage detection results in Case 3 (weak nonlinear state)

通过数值计算和实验工况可知，对于非线性损伤问题，基于GARCH模型构建的损伤指标相对更好，这主要是由于GARCH模型属于非线性模型，可以更好地解决非线性问题.而AR模型和倒谱测距相结合的非线性损伤识别效果相对较差，这主要是AR模型是线性模型，虽然借助了倒谱测距来增强识别效果，但该方法应该更适于解决线性损伤问题，对于环境干扰下的非线性问题识别结果欠佳.改进GARCH罚指标的识别效果相对最好，对于非线性问题，其识别结果明显优于基本GARCH指标和基于AR模型的倒谱类损伤指标.

5 结语

本文提出了基于GARCH效应和改进罚指标的非线性损伤识别方法，该方法直接利用含噪声的测量加速度数据，采用GARCH模型提取了非平稳的非线性损伤信号，并借助改进GARCH罚指标来识别基于层刚度的非线性损伤信息，从而实现了非线性损伤的识别研究.最后利用了数值计算和实验研究进行了非线性损伤识别理论和改进GARCH罚指标的有效性验证.通过实验验证和数值分析，可以得出以下结论：对于非线性损伤识别问题，基于非线性GARCH模型的损伤识别方法要优于基于线性AR模型和倒谱测距的方法；本文提出的改进GARCH罚指标对于非线性损伤问题的识别效果相对更好，明显优于基本GARCH指标和基于AR模型的基本倒谱指标和倒谱罚指标；而且对于弱非线性问题，本文的改进GARCH罚指标依旧具有一定的非线性损伤识别能力.