卓西咔

阿才一家和阿才的表哥阿杰一起在假期外出旅游。经过一天的四处游览，天色也已经不早了，他们决定找个酒店住下。

他们选择的是一个宽敞舒适的四人间，里面有电视、衣柜以及两个洗手间。因为这是阿才与表哥阿杰第一次住酒店，所以来到新环境的他们，对酒店里的一切都感觉很新鲜。

“爸爸，为什么酒店四人间里会配备两个洗手间呀？”阿才来到爸爸的身边，说出了自己的不解。

爸爸揉了揉阿才的小脑袋，笑了笑，反问道：“那么你认为四人间应该配备几个洗手间才合理？”

阿才思索一番，说：“因为一间房里有四个人，所以应该配备四个洗手间，这样才不会出现冲突的情况，对吗？”

“不对，我看一个洗手间就够了！”阿杰也加入了讨论。

“其实呀，酒店的四人间配备两个洗手间是比较合理的。”

“为什么呀？”阿才和阿杰双双皱起了眉头。

假设每个人在一小时内平均使用洗手间约15分钟，每个人在一小时内的任意时间点使用洗手间的概率是 P=15

60=0.25。

不妨分别令B0，B1和B2表示在任意某时刻有0位，1位和2位客人同时需要使用洗手间的概率。因为每位客人是否需要使用洗手间是相互独立的事件，所以我们就能算出如下结果：

B0=（1-P）（1-P）（1-P）（1-P）=（1-0.25）×（1-0.25）×（1-0.25）×（1-0.25）≈0.3164

B1=4×P（1-P）（1-P）（1-P）=4×0.25×（1-0.25）×（1-0.25）×（1-0.25）≈0.4219

B2=6×P×P（1-P）（1-P）=6×0.25×0.25（1-0.25）×（1-0.25）=0.2109

在一小时内的任意时间点，同时使用洗手间的人数不超过两个人的概率为：

P*=B0+B1 +B2=0.3164+0.4219+0.2109=0.9492=94.92%

所以酒店这样安排洗手间的数量，在很大程度上能满足四人间内的客人使用需求。因为房间的面积有限，所以四人间配备四个洗手间并不是最佳选择，配备两个洗手间较为合理。

爸爸看着阿才和阿杰，又来了兴致：“你们有没有兴趣思考一下另外一种情形？”

“有！”兄弟俩兴奋地齐声喊道。

“每个人使用洗手间的时长往往都不同。假设现在有三位客人入住了酒店的三人间，他们每个人平均一小时使用洗手间的时长分别是5分钟，10分钟和15分钟。你们猜猜这个三人间配备几个洗手间比较合理？”

阿才的想法是，先设每位客人在一小时内的任意某时刻使用洗手间的概率分别为P1，P2和P3，那么可以分别算出：

P1=5

60≈0.0833

P2=10

60≈0.1667

P3=15

60≈0.2500

进而得到：

B0=（1-P1）（1-P2）（1-P3）≈0.5729

B1=P1（1-P2）（1-P3） +（1-P1）P2（1-P3）+（1-P1）（1-P2）P3≈0.3576

在一小时内的任意时间点，同时使用洗手间的人数不超过一人的概率为：

P*= B0+B1 =0.9305=93.05%

所以在这种情况下，三人间配备一个洗手间比较合理！

听了阿才的想法，爸爸满意地点了点头，向阿才竖起了大拇指。

生活习惯

也需考量

爸爸接著说：“受个人生活习惯的影响，客人使用洗手间的时间，大多数是固定的，但也有不固定的。假设现在同行的三位客人，其中一位客人习惯在每小时的前15分钟（如12：00～12：15）使用洗手间，而另外两位客人则无固定时间，但他们平均每小时也会使用洗手间15分钟，配备几个洗手间最合理？”

我们知道另外两位客人在一小时内的任意时间点使用洗手间的概率是 P=15

60=0.25。不妨令C0， C1分别表示在每小时的前15分钟，另外两位客人里有0位，1位客人使用洗手间的概率。由此不难算出：

C0=（1-P）（1-P）=（1-0.25）（1-0.25）=0.5625

C1=2×P（1-P）=2×0.25（1-0.25）=0.3750

我们便可知道，在每小时的前15分钟内，三位客人里只有1人使用洗手间的概率为56.25%，而三位客人里，不超过两人同时使用洗手间的概率则为  P*= C0+C1=0.5625+0.3750=0.9375=93.75%。

若配备1个洗手间的话，仅有56.25%的可能保证客人使用洗手间不会有冲突。而若配备两个洗手间的话，就有约94%的可能保证客人使用洗手间不会有冲突。

如果能确定另外两位客人不会在每小时的前15分钟内使用洗手间的话，那么，这两位客人在每小时的后45分钟内的任意某时刻使用洗手间的概率就是 P=15

45=0.3334。

令 D0， D1分别表示在每小时的后45分钟内，另外两位客人里有0位，1位客人使用洗手间的概率，可以不难算出：

D0=（1-P）（1-P）=（1-0.3334）（1-0.3334）≈0.4444

D1=2P（1-P） =2×0.3334×（1-0.3334）≈0.4445

那么，在一小时内的任意时间点，三位客人中同时使用洗手间的人数不超过1人的概率是P*= D0+D1 =0.4444+0.4445=0.8889=88.89% 。

若已知另外两位客人不会在每小时的前15分钟内使用洗手间，配备1个洗手间就有约89%的可能，可以满足客人的使用需求。