■史宇轩(导师：李发明)

1.导数的物理意义和几何意义

数学和物理中都提到导数的概念，两者提到的导数一个侧重计算，一个侧重实际应用。为了更深入研究导数的物理意义和几何意义，我翻阅了同济大学的高等数学，从网上查阅了资料，得出：导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念，当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

无论该函数图像是直线还是曲线，导数都是函数在一个点的斜率或者说是瞬时变化率。对于直线求某点的导数即求该点的斜率，有多种常规求解方法。对于曲线需要采用局部先行逼近。常规的求解方法是根据定义：(1)求y的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)。(2)计算y的增量和x增量的比值。(3)求极限。例如，常数的导数是0，即y=9，y'=0，可知y=9的直线的变化率为0。可以通过上述三步求得。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。因此，导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。例如，在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

2.导数的实际应用

例如，一辆汽车在10h内走了600km，那么它的平均速度是60km/h。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不一定都是60km/h。为了更好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f(t)，那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是。当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把此时的极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即，这就是通常所说的速度。这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程(如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度)。

结论：(1)查看了文件并借阅了同济大学的高等数学1，通过查阅文献得知，函数在一点处的导数的几何意义为曲线在该点处的切线的斜率。

(2)函数在一点处的导数的物理意义：一阶导数的物理意义随不同物理量而不同，但都是该量变化的快慢函数，既该量的变化率，是函数的切线。如对位移求导就是速度，速度求导就是加速度(即对位移求2次导数)，对功求导就是功的改变率等。或者说一阶导数是自变量的变换率，二阶导数是一阶导数的变换率。一阶导数大于0，则递增;小于0，则递减;等于0，则不增不减。

在一个具体的运动过程中，若已知位置X随时间t的变化函数X(t)，那么速度就是X对t的一阶导数，即。将V对t的一阶导数，叫作瞬时加速度a，即对t的一阶导数即X对t的二阶导数)。

通过导数与物理、几何、代数的关系(在几何中可求切线，在代数中可求瞬时变化率，在物理中可求速度、加速度)，将各个不同学科所学知识结合到一起，并应用于生活实践中，培养了我们的探索能力、创新能力，让我们更加懂得学习的意义。