左彦召　孙道斌

【摘 要】统计是数据分析的科学和艺术，初中数学统计的核心是发展学生的数据分析观念.本文拟通过“‘数据的分析复习（1）课堂实录及点评”来说明准确把握数据分析观念是进行初中数学统计教学设计和教学实施的必要前提和重要基础.而初中数学统计教学的关键是使学生想到用数据，愿意“亲近”数据，能从数据中提取信息.

【关键词】 数据分析观念;合理决策;课堂实录;点评

2018年12月27日，在牡丹区初中数学年会——暨初中数学“统计”教学观摩研讨会上，由菏泽市牡丹区实验中学左彦召老师执教的公开课“数据的分析复习（1）”（北师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册第六章），切实根据数学学科的特点和初二学生的实际情况开展统计复习课教学，注重了“平均数、中位数和众数”知识体系建构的针对性和有效性，很好地体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）对统计复习课教学的要求，尤其是创新的教学设计，为统计复习课教学起到了引导、示范的作用.在听课的基础上，笔者对这节课的教学进行了实录和点评，供老师们教学时参考.

教学实录：

一、创设情景，回顾知识

师：生活中有许多问题都可以用数学的知识和方法来解决.今天，我们也遇到了一个生活问题.（课件展示“生活问题”）

某公司招聘员工时承诺：“本公司月平均工资6 000元以上”，刚毕业的赵强看到信息后认为这家公司工资很高，就应聘了这家公司，但入职后的第一个月赵强领了4 000元的工资，他感觉公司欺骗了他.

（学生浏览PPT，了解问题背景）

师：老师问个问题，此时的赵强应该了解什么信息呢？

（课件出示“问题1”）

问题1：此时的赵强应该了解什么信息呢？

生1：应了解这家公司的工资情况，特别是最低工资、最高工资和平均工资.

生2：应了解工资的中位数和众数.

师：大家说的没错，这就是我们要复习的知识.（板书标题“数据的分析复习（1）”）

师：赵强要了解工资情况，他接下来要做的事情是什么呢？

生3：去问公司的员工.

生4：去负责发工资的那里找会计查.

师：说得好，这一过程就是“收集数据”.（板书“收集数据”）

点评 用实例帮助学生回忆已经学过的知识，并且引领学生把这一问题作为一个问题模型加以理解，进而解决其他问题.

二、合作学习，建构体系

师：现在老师给大家提供赵强应聘之前两家公司的工资报表.

（学生浏览数据，老师展示问题2）

问题2：A，B两家公司哪家公司的工资水平高？

（学生先独立思考，然后同桌交流）

师：大家能用我们学过的三个统计量加以说明吗？

生5：我们可以比較它们的平均数.

生6：不行.

师：为什么？

生6：它们的平均数相等.

师：大家会算平均数吧？公式是？

生7：x-=1/n（x₁+x₂+x₃+…+x_n）.（教师板书公式）

师：那就算一算吧.

（教师巡视）

师：看来计算还挺繁琐，怎么有这种感觉？哪位同学来说一下？

生8：它需要把每个数据都算一下，所以计算起来可能麻烦点.（教师板书“参与数据”）

师：算出来了吗？

生9：算出来了，它们确实相等.

师：大家说，这个量它表示数据的什么统计意义？

生10：（抢答）平均水平.

师：赵强有受骗的感觉，你觉得哪个数据对其影响较大？

生11：极端值14 000拉高了平均数.（教师板书“受极端值影响”“较大”）

师：那怎么比较两家公司的工资水平呢？

生12：用中位数和众数.

师：你会确定这两个统计量吗？

生13：中位数就是中间的数.

师：还有补充的吗？

生14：取中间的数或中间两个数的平均数.

师：还有补充吗？

生15：排序后，取中间的数或中间的两个数的平均数.

师：大家同意哪个观点？

生众：第3个.

师：对.（板书“排序中间位置”）

师：这个统计量在排序后，几个数据参与了最终的计算？

生16：1个或者2个.

师：中位数参与计算的数据是个别数据.（板书“个别”）

师：它表示了数据的什么统计意义？

生17：中等水平.

师：你理解“中等水平”吗？

生18：中间的或最多的.

生19：我认为是有一半的数据比这个数大，有一半的数据比其小.

师：刚刚一位同学答的“最多的”是指哪个统计量？

生众：众数.

师：对，出现次数最多的数是众数.（板书“次数最多”）

师：（追问）如果有两个数据出现的次数相同，那么众数该如何确定？

生20：取它们的平均数.

生21：他说的不对，应该是“这两个数据都是众数”.

师（问生20）：知道问题出在哪里面了吗？

生20：知道了，我刚才把中位数和众数混淆了.

师：好，请坐.这样，老师说一个特殊的情况，如果每一个数据出现的次数都相同，该如何确定众数？

生20：我认为就没有意义了.

师：我们认为此时众数不存在.那么，众数应该是部分数据.（板书“部分”）大家觉得众数表示数据的什么统计意义？

生22：我认为众数表示“普遍情况”.（教师板书“普遍情况”）

师：中位数和众数受极端值影响吗？

生23：不受.

生24：应该说是影响较小.（教师板书“影响较小”）

师：A，B两家公司哪家工资水平高？

生25：我认为B公司的工资水平高.这两家公司的平均数相同，中位数和众数B公司都比A公司高，因此，B公司工资水平高.

师：看来我们在分析一批数据时不能单一的看一个统计量，应该多方面的来分析.

师：我们了解了这批数据的很多信息了，大家说说看，如果你是赵强，你会选择进哪家公司？

（课件展示问题3）

问题3：如果你是赵强，你会选择哪家公司？

生26：我会选择B公司，因为它的众数高于A公司，入职后的工资较高.

生27：我会选择A公司，因为它的副经理和总经理的工资高，并且升副经理的机会大.

生26：那你要是从这个角度看，那B公司副经理升总经理的机会还更大呢？

生27：你B公司升了总经理也没我副经理的工资高.

师：刚才两位同学的争论观点鲜明，真精彩！也都有道理，一个是看到了经理职位，积极进取;一个是想到了普遍情况，一切求稳.你们说的都对.同时，你们也说出了统计学的味道，藏在数据背后的学问还是蛮大的，有个人也有这样的体会.

（课件展示名言：“世界上有三种谎言：谎言、该死的谎言，还有统计数据.”——英国前首相，本杰明·迪斯雷利）

师：本杰明首相就真的想告诉我们“统计数据是谎言”吗？谁给老师解读一下.

生28：不是的，他应该说的是统计数据的获取是收集来的，本身它只能作为一种参考，另外，他还想告诉我们要多角度地分析问题然后做出决策.（教师板书“数据分析”“合理决策”）

师：答得真好，为他的发言鼓掌.

（众生鼓掌）

师：经过同学们的积极思考和争论，我们获取了关于三个统计量的整体认识，它们都是表示数据集中趋势的，但描述的角度和使用的范围不同，它们各自的特点也不相同，希望同学们在不同问题情境中要善于体会，合理选择数据，从而做出正确的选择.还是回到上面的问题，大家说，赵强感觉受骗了，他应该怎么决策？

生众：跳槽.

点评 通过这个例子让学生意识到，两组数据的平均数虽然相同，但是数据的特征存在着明显的差异，需要运用不同的统计量来对数据进行比较.进而建构三种统计量的知识体系.

三、问题提出，简单应用

师：果不其然，赵强和大家的想法一致，他选择了辞职，自己开了一家服装店.他积累了生活经验和数学知识，开始用数据来指导生活了，他收集了一月的销售情况，赵强的弟弟赵明帮他算出了平均数……，大家请看例1.

（课件展示例1）

例1 赵强的服装店在前一段时间内销售了200件某品牌衬衫，其中各型号衬衫的销售量如下表：

赵强的弟弟赵明同学计算出平均数为175cm，就建议哥哥下次进货时型号为175cm的衬衫多进货.

（1）你知道赵明求平均数的方法吗？你有简单的计算方法吗？

（2）你觉得赵明的哥哥会采纳赵明的建议吗？

师：你知道赵明是怎么算出平均数的吗？请在练习本上算一下.

生29：我是把型号乘以件数，型号乘以件数等，然后加起来再除以总数，得到了175cm.

生30：我是先估计了一下，平均数差不多是175cm，我就记165cm为-10cm等，然后再计算，同样得到了175cm.

师：有多少同学用了生30的方法，请举手.不错，大家都很聪明！知道較大的数可以用正负数表示，从而达到简便计算的目的.

师：可以用上面的五个数加起来的和除以5吗？

生31：不能.因为，这五个数的权不同，需要用加权平均数的计算方法.

（课件展示三种方法，并说明第一种做法虽然计算简单，但是错的）

做法一：（165+170+175+180+185）÷5=175（cm）;

做法二：（165×35+170×35+175×35+180×85+185×10）÷200=175（cm）;

做法三：175+（-10×35-5×35+0×35+5×85+10×10）÷200=175（cm）.

（第一种方法很容易被学生否认，第二种方法容易让人接受，学优生能提供第三种方法.）

点评 让学生在计算平均数时顺便复习平均数的简便算法，提高学生的解题技巧，并且给学优生一个充分展示的平台，增强学生的合作交流的意识.

师：你觉得赵强会采纳弟弟赵明的建议吗？

生32：不会.因为，180cm的卖的最多，应该多进一些180cm的.

师：这位同学从众数的角度分析了这件事，有道理.还有其他的观点吗？难道赵明计算的平均数175cm就一点用也没有吗？大家再算一下中位数.

生众：175cm.

师：这件事，老师是这样想的，我觉得赵强会参考这个数据，因为超过一半的衬衫型号都在175cm和180cm这两个型号上，我觉得应多进一些175cm和180cm的衬衫.大家同意老师的观点吗？

（学生纷纷举手）

点评 通过不同角度的回答让学生感受到回答方式的多样性，意在鼓励学生从多个角度分析问题，体会概率统计与数与代数、图形与几何在解决问题时存在的差异.

师：大家有没有体会到，现在我们接触的统计和原来学习的数学有所不同？

生33：原来的都是要么就对，要么就错，而今天学习的知识好像没有对错了.

师：是的，这就是统计学的味道.要么好，要么坏;要么合理，要么不合理.我们只需根据统计量做出合理决策.

（学生纷纷点头，表示赞同）

师：赵明从这件事情上学到了知识，于是，回到学校，也用起今天的知识.他参加了学校里组织的活动.

（课件展示例2）

例2 学校举行演讲比赛，赵明等10位同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分.

方案1：所有评委打分的平均数.

方案2：在所有评委打分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余打分的平均分.

方案3：所有评委打分的中位数.

方案4：所有评委打分的众数.

为了探究上述方案的合理性，先对某个学生的演讲成绩进行了统计实验.下面是这个学生的得分统计：3.2，7.0，7.8，8，8.4，9.8，8.4，9.8，9.8，8.4.

（1）分别按上述4个方案计算这个学生演讲的最后得分;（分组进行）

（2）根据（1）的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个学生演讲的最后得分.

师：我们把四种方案，分成四组来核算一下这位同学的最后得分.

（学生组内计算）

师：我想找组内代表发言.

生34：我们一组计算的结果是80.06分.

师：一组同学的结果一致吧？

（众生点头示意，表示赞同）

师：2组？

生35：我们的结果是84.5分.

生36：我们的结果是84分.

生37：我们的结果是98分和84分.

师：大家的计算都很正确.大家想一想，我们在认定一位同学测试成绩的时候，用哪个数据代表不合适？

生38：第一组，因为第一组受极端值影响较大.

生39：第四组，因为众数有两个，并且它们的差距较大，不能较好地反映这个学生的成绩.

师：还有补充吗？

生40：第三组不合适，因为中位数只用到了个别的数据，不全面.

师：没错，我们常用二、三中方案核算最后得分，其中，生活中使用最多的就是第二种“去掉一个最高分，去掉一个最低分，算其余数据的平均分”.

点评 对本题用统计图呈现数据信息，集平均数、中位数和众数的选择决策于一身，重点考查三个描述集中趋势的统计量的意义、计算及不同应用.特别是问题（2）具有很强的挑战性和综合性，是思维训练的好素材.

四、知识梳理，总结收获

师：赵明学到的生活经验和统计学知识肯定还会继续传播，甚至于走向同学们的生活，走向我们的课堂，同学们这节课你学到了什么？

生41：学到了数据分析，学到了用平均数、中位数和众数分析数据的特征.

生42：我学会了利用分析出的数据进行多角度的、合理的决策.

（教师结合板书进一步强调）

师：很好.大家的发言都很精彩，对于问题的决策也有自己的见解.老师很佩服你们敢于坚持自己意见的勇气，也很欣赏你们小组合作学习时的热情，希望大家保持这种激情，在快乐学习中不断丰富自己的生活经验.

点评 通过知识梳理，总结收获，提炼方法，进一步明确本节课的主题和中心，既是对知识的提升，又给学生以启迪和鞭策，实现对学生的情感和价值观的教育，并让学生感受数学的诗意.

总评

纵观整节课，左老师并未把眼光局限于各统计量概念的知识与技能的回顾与训练上，而是从关注统计的过程、统计的意识的形成这一高度来引导学生开展回顾与探究活动，让学生进一步了解了平均数、中位数、众数的区别和联系，并在具体情境中有选择地进行运用，把一节常态的复习课上得精彩纷呈，切实地将“数据分析”这一数学核心素养实实在在地渗透到了教学中的每一个环节，让学生体会到了统计量的现实意义，以及在生活中的应用，从而实现了数学的深度学习.具体地讲，主要体现在以下几个方面：

1.本节课教学目标明确，教学过程设计层次清晰，可见，备课时左老师注重了趣味性与知识性相结合，体现了寓教于乐的原则，整节课下来，能以学生为中心，帮助学生构建数学模型.

2.教育理念先进.左老师能贯彻“做中学”的教育理念，通过学生自主学习，培养学生的学习情感和探究精神.同时，左老师能实践“用数学”的教育理念，通过设置联系生活实际的数学问题，让学生感受到数学的美妙，培养学生学以致用的良好习惯，激发学生的学习兴趣.这使得这节课精彩纷呈，充分地让学生感悟数学的本质，积累数学活动经验，这对学生数学核心素养的培养具有現实意义.

3.复习引入环节设计巧妙.左老师从学生的实际生活出发引出本节课的三个特征量，激发了学生的兴趣，又能过度到本节课的主题，起到承上启下的作用.

4.知识网络建构流畅，自然生成.左老师用复习引入环节中的实例帮助学生回忆已经学过的知识，并通过“赵强选择哪家公司”将问题引向深入，经过同学们的积极思考和争论，使他们获取了关于三个统计量的整体认识（它们都是表示数据集中趋势的统计量），并体会到了要用这三个统计量做出合理决策.

5.注重小组合作、共同探究.我们知道，数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动和共同发展的过程，能激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，使他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得了广泛的数学活动经验，有效地发挥了他们的学习主体作用.

6.本节课左老师设计了一定的开放性题目，这给学生留下了充分而广阔的空间，发展了学生的创新意识，培养了学生思维的广阔性.通过开放性题目的探索，给学生一个充分展示自我的机会，极大地调动了学生情绪的积极投入，很大程度上避免了教师陷入唱“独角戏”境地的发生.

7.突出和谐的教学氛围.学生通过左老师设计的丰富的教学情境，将概念复习融入其中，选取的问题贴近学生、贴近时代.在本节课的教学中，左老师特别重视让学生开展活动，让学生的兴趣在了解探究中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行，整节课始终围绕现实情境展开，避免了枯燥乏味的数据分析与计算.这样，知识的理解、学习与掌握不再是一种任务和负担，而是一种精神上的充实和享受.

总之，“数据的分析”复习的课堂教学不能只把眼光局限在各统计量概念的知识与技能的回顾与训练上，而是要从关注统计的过程、统计的意识的形成这一高度来引导学生开展回顾与探究活动，让学生进一步了解了平均数、中位数、众数的区别和联系，并在具体情境中有选择地进行运用，切实地将“数据分析”这一数学核心素养实实在在地渗透到了教学中的每一个环节，让学生切身体会到统计量的现实意义，以及在生活中的应用.这节课之所以上得生动活泼，教学效果好，最主要的原因就是教师将学习的主动权交给了学生，并遵循了“统计”的课程理念，做到让学生的复习经历了一个梳理并建构知识体系的完整过程.