【摘 要】数学课程内容是数学教学的基本点，是显性的，但却非核心。从学科教育的角度来看，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的“核心概念”是数学课程内容的核心所在。文章结合《标准》的内容要求和数学课堂教学实例，简要介绍了与初中数学课程相关的若干“核心概念”的基本内涵。

【关键词】符号意识 几何直观 数据分析观念 运算能力 推理能力 模型思想

相信每一位数学老师都立志“教好”数学，也都知道为此必须“理解”要教授的数学课程内容，并且也都认可那些具体的数学内容并不是我们教学的核心所在，那么我们要教授的数学课程的核心究竟是什么呢？

首先需要明确的是，对处于义务教育阶段的绝大多数学生而言，数学是他们未来生存和发展过程中解决问题的工具，是促进他们能力提高的有效载体，而不是他们未来职业生涯中的研究对象。那么，在这一阶段，数学核心的教育价值究竟是什么？对此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在“课程内容”部分给出了明确的说明：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

这就是所谓的义务教育阶段数学课程的10个“核心概念”。除去应用意识和创新意识这两个为所有课程所必须关注的核心概念以外，与初中阶段数学课程关系密切的有符号意识、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。下文笔者试图根据亲身经历的《标准》修订过程和自己的理解，对上述6个核心概念的内涵做简单的阐述，以期为大家理解核心概念提供帮助，进而为深入理解数学课程内容、有效实施数学教学提供线索。

一、符号意识的内涵与体现

按照《标准》的界定，符号意识主要是指能够理解并且运用符号进行表达、运算和推理，知道由此而得到的结论具有一般性。本质上看，数学在引入抽象的符号之后，才真正成为现代意义上的数学，并显露出其“追求一般意义”的本质。

对学生而言，只有在接触到抽象的符号之时，才可算是开始代数学习之日。这里，学生遇到的数学符号基本可以分为两类：对象符号——数字、字母、关系式、图像（表）等；运算符号——四则运算、指数运算、代数关系等。此时，符号意识有以下两个含义：作为表示的工具和作为运算的对象。

对于“作为表示的工具”，其基本含义是：在研究一些数学的、非数学的现象中，能够运用合适的数学语言和符号表达其中存在的多种数学信息和数学规律，也能够了解借用数学符号（表达式）所呈现的对象的数学特征；同时，能够运用数学符号表达推理过程。

对于“作为运算的对象”，其基本含义是：能够按照既定的法则、规律从事必要的运算，并理解有关运算的含义、原理。

在当前教学实际过程中，更应当引起我们关注的是：符号不能仅仅被视为抽象的“符号”——只是对它们进行一些不赋予任何含义的运算，而应当强调对它们的理解，以及在理解基础上的有效应用。

就具体内容而言，符号意识主要与《标准》里的“数与代数”部分相关，涉及的相关主要条目包括：（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；（2）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；（3）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法、减法和乘法运算；（4）能推导乘法公式（具体略），并能利用公式进行简单运算；（5）能用提公因式法、公式法进行因式分解；（6）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单的分式加、减、乘、除运算。

由此可见，帮助学生初步形成符号意识是发展学生数学思维特别是抽象思维的起始，而学生的符号意识主要表现在两个方面：用符号表示和操作符号。因此，发展学生的符号意识应当让学生经历“从具体到抽象”的过程，从事“用符号表达一般关系”“对符号进行转换”和“解释符号所表达的对象（操作）的实际含义”等活动。

需要注意的是，这里的数学符号一定与具体的数学内容、数学活动密切关联，不宜被视为“毫无意义”的纯粹符号。而且符号意识的强与弱和能够操作符号（比如进行多项式运算、因式分解等）的复杂程度并无直接关联。

二、几何直观的内涵与体现

按照《标准》的界定，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。因此，几何直观与空间观念相同之处在于，两者都是借助图形进行思维；两者不同之处在于，空间观念的思考对象一定是物体（图形），着眼于表述思维对象原有的几何结构，而几何直观的思考对象可以是（也经常是）代数关系及其他的非几何图形，此时只是借助图形形象地表达思考对象的数学特征（关系）。

例如：任何两个人之间要么互相握过手，要么没有。如果我们用两点之间是否存在连线，表示它们所代表的两个人相互间是否握过手，那么，在个人组成的集合中，彼此间握过手的情况可以用一个类似于“n边形”的图像直观地表示：图像中所有的线段数k就表示有k组人彼此间握过手。

在《标准》“内容标准”里的“数与代数”部分，与此相关的主要条目包括：（1）能用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小；理解相反数和绝对值的意义；能够在数轴上表示出一元一次不等式的解集。（2）了解乘法公式的几何背景。（3）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；能根据反比例函数的图象和表达式y=■（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；能通过图象了解二次函数的性质。（4）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

这其中，（1）（2）两条属于建立几何直观的初级阶段，即初步了解相关代数内容的几何表示，而（3）（4）两条属于建立几何直观的高级阶段，即应用几何直观从事对代数对象的研究，特别是（4）为此次《标准》新增条目，体现了关注培养应用几何直观研究代数对象的能力，毕竟，表达式y=a（x-h）2+k较y=ax2+bx+c有更为明显的几何意义。

在《标准》“内容标准”里的“图形与几何”部分，与此相关的主要条目大多包含在“图形的变化”部分，如：（1）了解轴对称的概念，探索它的基本性质；了解常见的轴对称图形，探索它们的基本性质。（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质；探索常见中心对称图形的基本性质。（3）认识图形的平移、旋转现象，探索其基本性质，运用相关性质进行图案设计。（4）了解图形的相似（位似），探索多边形相似（位似）的基本性质。

如上所述，几何直观的基本特征是“借助图形进行思维”，因此，帮助学生在头脑里构建基本的图形结构和变化方式是培养其几何直观的基础。这里，“对称”“运动”与“相似”是最为基本的部分。数学中的数形结合思维方式就是一种典型的几何直观。而发展形似几何直观的最基本做法就是“画一个图表示正在思考的问题，包括它的条件、彼此间的关系，以及需要确定的结论，等等”。

三、数据分析观念

数据分析观念为每一位现代公民所必备，《标准》对此的解释包括两个部分。

其一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断……了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。

这表明，数据分析观念的核心是：面对现实问题时能够想到并且实现“用数据说话”。或者说，一个是“用数据说话”的意识，一个是“用数据说话”的能力。所谓“用数据说话”的意识，即指当个体面临需要做出决策的情境、需要解决的问题时，能否意识到需要收集相关信息、数据，以帮助自己做出明智的判断、决策；而“用数据说话”的能力则指能够有效从事“用数据说话”的基本过程：收集数据—表达数据—处理数据—解释结果。

例如，在现实情形中，我们常常会发现在自己生活的城市里，某个交通路口在一定的时段内（如上下班高峰时间）南北向车辆堵塞的情况很严重，而同一时段内东西向车辆行驶则比较顺畅，此时，就会想到在该路口重新设置红绿灯变换频率和时长，为了使得重新设置的方案能够有效地解决南北向车辆堵塞的情况，又不给东西向车辆行驶造成较明显障碍，设计者就应当有“统计意识”——首先统计该时段路口南北向车辆、东西向车辆通过的具体数据，并以此作为重新设置红绿灯方案的基本依据，而不是随意地做加减法。

其二，通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。这说明，“用数据说话”的结果并非确定的，即对于同样的事情每次收集到的数据可能不同（但从足够多的数据中可能发现规律）。通常，对于同样的数据，需要根据问题的特征选择不同的处理方法。而且，根据数据处理结果所得到的推断并不一定正确（但具有合理的可信度）。

例如：电视台需要了解某个栏目在A市的收视率，不可能对A市所有电视观众一一询问。通常采取的做法是“抽样调查”方法，即按照某种抽样方式（随机抽样或分层抽样），在该市抽取一定数量的个体作为调查样本，将所获得的具体数据做数据处理，并以相应的数据处理结果作为A市该栏目的收视率。这里，“借用样本估计总体”的思维过程就是“数据分析观念”的一种体现，它的过程属于“或然推理”：一方面，用这种方式形成的推断具有较大的可信度，能够作为有效结论使用；但另一方面，它也可能有误差，即与真实情况不相吻合。

就具体内容而言，数据分析观念主要与《标准》里的“统计与概率”部分相关，涉及的主要条目包括：（1）经历收集数据、表达数据、处理数据和解释结果的过程；（2）能够选择并制作相关统计图表表达数据，能够计算统计量，并理解其含义；（3）能够解释数据统计结果，并根据结果做出简单判断和预测；（4）了解样本与总体的关系，可以根据样本的数据特征，推断总体的数据特征。

由此可知，数据分析观念的思维层次较高，它建立在逻辑思维基础之上，属于对现实情境的“合理性”解释。发展学生的数据分析观念必须在真实的情境中进行，必须破除以往“真实条件+正确思维过程=正确结果”“一个数学问题的答案要么正确要么错误”等思维定式，而代之以“结论是否合理”“答案是否好”等思维方式。

四、运算能力的内涵与体现

运算能力是典型的数学能力，但随着时代的发展，内涵的变化十分明显。《标准》对运算能力的描述是：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。简单地说，运算能力仅指能够“正确地从事运算”，而不涉及运算速度和巧妙程度。

之所以有这么大的变化，主要因为目前人们能够非常方便地使用机器从事数学运算（包括代数运算），数学运算已经成为一种“机械思维活动”——可以借助机器，按照既定的程序反复操作而获得结果。人类思维的主要精力将不再集中于此，而是致力于从事更为高级的创造性活动。

同时，《标准》也说明：培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。即：理解算理是发展运算能力的一个重要方面，寻求合理简洁的运算途径解决问题也是发展运算能力的一个重要方面。这里的“合理简洁的运算途径”更多地指根据解决问题的需要所选择的“恰当运算方式”——精确计算还是估算，借助工具计算还是手算，等等，而不是“简便算法”。

在《标准》“内容标准”里的“数与代数”部分，与此相关的主要条目包括：

（1）关于数的运算

理解有理数的运算律，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根；能求实数的相反数与绝对值；能用有理数估计一个无理数的大致范围；了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。

（2）关于式的运算

了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算；能进行简单的整式（分式）的加减法和乘法运算；能推导乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2；并能利用公式进行简单计算；能用提公因式法、公式法进行因式分解。

（3）运用运算解决问题

能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程、二元一次方程组、数字系数的一元二次方程、一元一次不等式（组）。

从上述标准可见，关于运算的学习，在理解相关运算原理的基础上，对于数的计算技能要求在降低（如开方），但对于计算器的使用比较关注；对于式的运算则强调“基本与简单”。事实上，所有的运算学习与训练更多地指向“运用运算解决问题”，即能够求解《标准》中所开列的方程（组）、不等式（组）。

五、模型思想的内涵与体现

模型思想是体现数学应用价值的典型思想。从数学教育的角度来看，建立模型思想本质上是帮助学生体会数学与外部世界的联系。而培养学生模型思想的基本活动就是建立模型。按照《标准》的说明，建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。

这说明，模型思想的应用包括三大步骤：从现实到数学模型——从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，寻找相关的数学关系，建立数学模型；处理数学模型——求解模型的数学结果；得到原问题的结果——讨论结果的意义，检验结果的适切性。

这样的过程可以用下图表示：

在《标准》“内容标准”里的“数与代数”部分，与此相关的主要条目包括：（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；能够解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程、二元一次方程组、数字系数的一元二次方程，一元一次不等式（组）；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。（2）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，能解数字系数的一元一次不等式（组），能够应用一元一次不等式解决简单的问题。（3）能够表达简单实际问题中蕴含的函数关系（一元一次函数、反比例函数、一元二次函数），并进行分析；能够应用上述函数关系解决简单问题。

因此，关于模型思想的教学需要明确的是：课程所涉及的主要数学模型包括方程（组）、不等式（组）与函数。而学习的内容为：建立模型；求解（分析）模型；结果检验。

发展学生的模型思想需要让他们经历真正的解决问题的过程，而不仅仅是套用现成的公式、方法或例题解决相似的问题。在实际的建立模型过程中，教师应尽可能选择“真实的问题”，鼓励学生借助各种工具、资源，并以小组合作的方式，经历完整的解决问题的过程。

六、推理能力的内涵与体现

《标准》对推理与推理能力所做的说明是：推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成——合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论。

这表明，一个完整的推理过程往往包括合情推理和演绎推理。它们对于推理过程、结果的贡献各不相同，难分伯仲。简单地说，在探索事物规律（特征）的过程中，合情推理活动显得更明显，而在确认事物规律（特征）的过程中，演绎推理活动显得更明显。

在《标准》“内容标准”里，与此直接相关的主要条目包括：

（1）“数与代数”部分

①分析问题中的数学关系，建立方程（组）、不等式（组）与函数关系式。②求解方程（组）与不等式（组）。

这些都属于“代数推理”，即推理的基本依据是数学公式、代数运算法则和运算律，推理的基本类型是演绎推理。其中对逻辑关系领悟要求较高的是《标准》新增的“会利用待定系数法确定一次函数的表达式”。

（2）“图形与几何”部分

①探究图形性质，图形之间的形状、大小和位置关系。②分析图形运动过程中的不变量（关系）。③证明相应的几何定理。④应用几何定理解决问题。

这些都属于“几何推理”，推理的基本类型包括合情推理与演绎推理。其中，①和②主要是合情推理，即推理的基本依据是已有的条件、各种探究性活动（测量、作图、计算等）所得的结果；推理的主要方式包括类比、归纳、概括等；而③和④主要是演绎推理，即推理的基本依据是已有的条件、基本几何事实；推理的主要方式是逻辑论证。

要提高学生的推理能力，这两者皆不可偏废。有益的做法是经常让学生经历完整的推理过程——先合情推理，再演绎推理；并且有意识地将两者结合起来——在进行合情推理时思考“合情”的理由，在进行演绎推理时注重寻找合理的证明思路。因此，《标准》中表述推理活动的要求时通常采用“探索……性质”“探索并证明……”的字样。■

【参考文献】

[1]全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]马复，凌晓牧主编.新版课程标准解析与教学指导（初中数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

（作者系南京师范大学教师教育学院教授，教育部《全日制义务教育数学课程标准》修订组核心成员，教育部中小学教材审查委员）