王春艳，李 枭，许小杰，栾 天

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

正则化策略是求解反问题最常用的方法，经典的正则化方法是通过增加信息、有限迭代、有限离散等方式处理问题的不适定性.近年来，随着计算机技术的发展，统计学方法越来越受到人们的青睐，在众多求解反问题的算法中脱颖而出.统计学方法是通过在更大的概率分布空间上描述反问题解的不适定性，其思想是利用观测信息和模型的先验信息，对所关心变量的不确定性进行评价.统计学方法的核心理论是贝叶斯方法.在贝叶斯方法中，所有参数被视为随机变量，然后根据变量的信息确定它所满足的分布，从而确定未知量的后验分布.贝叶斯方法与经典正则化方法是相通的，选取不同的先验分布就对应着不同的正则化方法.贝叶斯方法主要有以下几个优势：第一，模型简单，易于理解和接受；第二，编程思想简单且算法具有通用性；第三，所求反问题的解不是未知量的单个值，而是所有可能值的概率分布，这样能更好地利用先验信息，得到更丰富的输出结果.贝叶斯方法在描述后验分布时需要采样很多点，每一步都要解一次正问题，所以计算量较大，计算时间较长，但随着计算机技术的发展，这一缺点逐步得到了解决.关于贝叶斯方法的详细介绍可参考文献[1-2]，相关应用可参考文献[3-7].

1 可穿透障碍反散射问题的贝叶斯方法

Δu+k2(x)u=0，x=(x，y)∈2，

(1)

其中

为了保证解满足物理意义以及解的唯一性，通常要求散射场满足如下辐射条件

(2)

该条件称之为Sommerfeld辐射条件.

图1散射体D及测量曲线CFig.1Scattering body D and measurement curve C

可穿透障碍散射的正问题为：给定入射场ui和散射体D的形状，通过求解方程(1)-(2)计算散射场us[8].反问题则是已知测量曲线C上的散射场信息us，重构散射体D的形状，即求k(x).

将反问题抽象成如下问题：给定观测值y∈m，求解未知量θ∈n满足

y=B(θ).

这里B为观测算子.观测值在位于散射体D外部的测量曲线C上取得，如图1所示.

在反演散射体D形状的过程中，观测值y不可避免的会受到干扰.所以，我们给出更适合模型的方程如下

y=B(θ)+ξ.

(3)

这里ξ∈m表示观测误差，y是带有误差ξ的散射场us的观测值.

实际算法中，随机变量θ的先验概率密度函数选取脉冲先验分布密度函数π0(θ)[9]，其表达式为

妊娠期高血压疾病是常见的妊娠期合并症，国外研究显示，妊娠期高血压疾病在世界范围内的发病率在7%～12%之间，在我国发病率约为9.4%～10.4%。本病严重威胁母婴生命健康，是孕产妇和围生儿死亡的主要原因之一，目前研究表明，初产妇、年轻孕产妇(≤20岁)或高龄孕产妇(≥35岁)、肥胖、高血压病家族史等是影响妊娠期高血压疾病的主要因素。本县属于少数民族地区，妇女多有早婚早育的现象，初产妇低龄化及二胎全面放开后的经产妇高龄化，使得我们基层医院面临更多的挑战。因而，如何对该病进行有效的预防和治疗，成为我们临床医务人员广为关注的问题。

(4)

由式(4)可知

令误差ξ满足正态分布N(0，σ2I)，其概率密度函数为

因此

为了计算简便，且求解的问题符合物理模型，通常取π+=1[10].

在贝叶斯方法中，反问题的解为未知量的后验分布.但是，这一分布往往是抽象的后验密度表达形式，仅给出这个表达式对实际应用并没有多大帮助.因此，需要通过采样来获取未知量的估计值.

2 Gibbs采样

我们采用马尔可夫链蒙特卡罗方法(MCMC方法)，该方法基于给定分布构造一条马尔可夫链，在一定条件下，该马尔可夫链的状态可以视为给定分布的采样[11]，算法的详细介绍见参考文献[12].常用的MCMC方法有Metropolis-Hastings算法和Gibbs算法，本文将采用Gibbs算法，当描述分布的概率密度函数为π(x)时，算法的具体步骤如下：

1)令x∈n为初始值，并设置k=1.

2)选取采样点总数K，k=2∶K.

3)设置x=xk.对于1≤j≤m，从kj维绘制yIj∈kj的分布

3 数值实验

图2散射体形状重构图(σ=0.01)Fig.2Shape reconstruction of scattering body(σ=0.01)

考虑花生形状的散射体

s1(t)=(1+0.4cos(2t))(cost，sint)，0≤t≤2π.