郭 晨， 陈晓亮

(长安大学 电磁探测技术研究所，西安 710064)

0 引言

井地电法是指井中供电、在地面接收电磁场的一类电法，在圈定油气，油气层分层等多个方面有应用[1]，在国内、外，井地电磁法各向异性地层的理论有许多学者做了研究，从二十世纪九十年代起，徐建华等[2]利用欧姆定律导出各向异性地层中的电位方程，给出了解的基本形式；Wait，J.R[3]分析了电偶极子源在层状各向异性地层的响应等；高杰等[4]分析了定向井各向异性地层交流电测井，并指出电阻率各向异性是测井必须考虑的因素；魏宝军和张庆骥等[5-6]研究了层状单轴各向异性介质中的并矢格林函数的计算，给出了垂直电偶极子在层状各向异性介质中的公式；何继善等[7]运用电磁学基本理论，分离变量等求解了几种不同地电条件下的垂直线源电磁场理论，并通过特殊情况验证了算法的正确性；曹辉等[8]推导线源层状介质井地电磁响应，并通过点电偶极子叠加的方式验证公式的正确性；Ghada M. Sami等[9]分析了无限长导线源在二层地层上的瞬变电磁场不同激发点的电场数值模拟，分析了地层电导率对响应结果的影响；刘颖[10]分析了任意取向有限长电偶源对海洋可控源的电磁场响应分析，得到了垂直电偶源对高阻层最敏感的结论。在井地测井方面许多学者开展工作主要包括三维有限数值模拟，解析解，感应测井等方面，但对非常规地形垂直井井-地测井的理论分析研究不足，笔者在前人的基础上研究半解析方法，垂直有限长导线源在各向异性地层井-地电磁场响应，通过和数值仿真软件作对比并验证了推导公式的正确性和高效性，并分析简单模型。

图1 深钻井模型示意图Fig.1 Sketch of deep drilling model

1 垂直井正演理论

忽略井眼以及套管的影响，建立图1模型。其中：z轴向下为正方向的直角坐标系；hi=zi+1-zi；i=0、1、2、…；各层电阻率分别为ρi(ρh，ρv)，其中ρh为横向电阻率，ρv为纵向电阻率；A、B分别为线源的上下端点，垂直有限长导线源在水平层状各向异性地层中:供电电流I；频率f；地层相对介电常数和磁导率εr=μr=1，引用曹辉[8]地层中磁矢位量：

Dj(λ,z')eγi(z-zj)+e-γi|z-z'|]·

(1)

为了满足对实际各向异性地层情况的需求，求解不同层任意一点的各向异性解析解，由J R Water[3]推出的公式可知：

(2)

代入到式3)中[11]：

(3)

不同层所在点磁矢位量:

Dj(λ,z')eγi(z-zj)+e-γi|z-z'|]·

(4)

(5)

对不同层的垂直电偶极子源进行线积分可以得到各向异性条件下的线源磁场表达式：

gDie-γi(λ,m)(z-zi-1)+

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

…

(11)

其中：fE1、fH1已知[8]；σ均为横向电导率，求出gC1和gD1即可求出gC0，通过迭代可以求解得到gC0、gCi、gDi，i=1、2、3…得到井-地或井-井任意点的电磁场响应表达式(或由MATLAB求解系数矩阵得到gC0，gCi，gDi)，在地面测点的电场分量和磁场分量的响应计算表达式如下:

(12)

(13)

其中:gC0为复杂表达式，含地层信息。

2 对比论证

2.1 Comsol Multiphysics有限元仿真

Comsol Multiphysics是一款以FEM有限元算法为基础的大型数值仿真软件，在射频、结构力学、电化学等多方面有应用，同时具有强大的后处理功能等，均匀半空间电磁场仿真的流程和设置为：

1)物理场的选取-电磁场与电磁波频域(EMW)。

2)均匀半空间模型的构建，选用长方体当包裹层，分割成上下两部分域，其中上半部分为空气层，下半部分域为地质层，高度为20 000 m，结合无限远域边界条件模拟无限空间。

3)材料的设置，其中上部分域的材料设置为空气层σ0=10-12s/m，下半空间电导率为σ1，εr=μr=1，边界条件选取-散射边界条件。

4)激励源选取边电流，输入电流强度和求解频率f。

5)网格设置-选取网格大小选择标准，选取稳定求解器-自适应网格(在测线和激励源区域自适应剖分网格)。

6) 从Ex到Er需要在定义里面添加柱坐标系，在求解器中布置一条三维测线，通过后处理求解测线电磁响应。

7) 后处置计算响应时，计算X方向的数据需要键入下面直角坐标到柱坐标转换公式，求取径向电场响应和磁场响应。

Er=emw.Ex·cos(sys2.phi)+

emw.Ey(sin(sys2.phi))

(14)

Hφ=-emw.Hx·sin(sys2.phi)+

emw.Hy(cos(sys2.phi))

(15)

其中sys2指柱坐标系。

图2 均匀半空间模型示意图Fig.2 Diagram of uniform half space model

2.2 经典D Guptasarma, B Singh算法

数值求解采用该算法，其精度满足复杂地质条件下对正演的要求[12]。

要求解:

(16)

其中k(λ)是关于变量λ的积分核函数，i=0、1；通过对式(16)写成离散求和的方式即有：

(17)

其中：Wi是滤波权系数；r是收发距；滤波系数J0/J1(120/140)个，使用该算法求解0阶和1阶的复杂贝塞尔积分。

2.3 数值对比论证

笔者对解析式进行FORTRAN编程得到滤波解与软件仿真解在均匀半空间地层数值对比，采用图2模型，均匀半空间的电导率为0.01 s/m，相对介电常数和磁导率εr=μr=1，供电电流强度I=100 A，频率f=5 Hz，各向异性系数m=2，计算Er电场分量振幅的线源长度为1 m，线源上下端点深度分别为99.5 m和100.5 m；计算HΦ磁场振幅分量线源长度为100 m，线源上下端点深度分别为100 m和200 m；沿X测线方向(Y=0)，在x=60 m ～10 000 m布置300个接收点，对比仿真值和FORTRAN滤波解数值有图3。

对于Comsol Multiphysics 有限元仿真计算需要考虑到最佳网格剖分的问题，网格的剖分直接影响到响应分量的计算精度。由图3(a)，图3(b)可以看出，磁场分量在小于r<300 m(短收发距条件下)与COMSOL仿真误差较大，但磁场和电场响应分量,在测线方向x轴60 m～10 000 m的范围内，平均相对误差小于8%，误差在允许范围内，验证了本文解析式滤波解的正确性。本仿真案例通过在模型外层施加无限元域模拟无限广域空间，同时在模型外边界施加散射边界条件，减少反射波对计算场值的干扰。对于各向异性仿真设置，通过添加空材料，增加材料电导率属性，改变材料电导率主轴(对角线)参数使σh≠σv，达到模拟各向异性地层的效果。由图4(a)和图4(b)均匀半空间测线方向XY平面的等值线剖面图，可以看出距离线源不同位置的电场和磁场分量的强度分布情况。

图3 均匀半空间各向异性地层电场和磁场响应对比图Fig.3 Comparison of electric and magnetic field responses of anisotropic formation in homogeneous half space(a)各向异性系数m=2,Er电场；(b)各向异性系数m=2,HΦ磁场

图4 均匀半空间Er和HΦ等值线测线方向剖面图(I=1 A,line(100-200))Fig.4 Uniform half spaceErandHΦand isoline line direction profile (I=1 A,line (100-200))(a)Er电场响应；(b)HΦ磁场响应

表1 不同计算方法时效对比

2.4 时效性能比较

对比COMSOL模型仿真和对解析公式进行FORTRAN编程的滤波解时效性，计算多层地层且油气储层为各向异性地表测点的径向电场响应Er，在相同的计算机和地层状况条件下(线源长度、频率、地层厚度等)，仿真模型尺寸在满足3倍趋肤深度的最小边界尺寸条件下设置，采用标准自适应网格剖分，并使用求解大中型稀疏矩阵速度最快的PARDISO求解器，由表1结果可知：对公式通过FORTRAN编程数值滤波求解的方法要比COMSOL计算速度快百倍，明显体现了该算法的高效性。

3 模型分析

3.1 线源各向异性高阻油气薄层敏感度分析

采用表2模型一参数，L、P分别指线源与垂直电偶源，油气层为各向异性，测点沿X轴方向(Y=0),x=(20～10 000)m上的300个接收点，分析Er电场响应，对比线源和垂直电偶源对异常地质体(油气层)的探测灵敏度以及油气层横向电阻率对电场响应的影响得到图5(a)，为了清楚地分析不同激励源响应受异阻层影响，对图5(a)做归一化电场响应振幅得到图5(b)，归一化振幅是指有油气储层与无油气储层的电场振幅值比。

由图5(b)可以看出：在相同条件下，对比垂直长导线源和垂直电偶源对地电信息的识别能力，垂直线源电场识别油气藏薄层的灵敏度要比电偶源提高数量级个单位，异常地层电场响应振幅高10倍左右，该特性有利于对深层薄层资源的勘查。对于垂直长导线源L=401 m，油气薄层上下为低阻围岩,油气层表现各向异性，发现径向电场响应对异常体存在明显异常，对于油气层电阻率为(ρh=100 Ω·m,ρv=200 Ω·m)时，纵向阻率变化使|Er|异常响应明显，然而在油气层电阻率为(ρh=25 Ω·m,ρv=100 Ω·m)时，横向电阻率的变化对|Er|响应几乎无影响。由以上分析可见，对于垂直有限长导线源，Er响应主要受高阻油气层的纵向电阻率的影响，该响应并随着高阻油气层纵向电阻率的增加，振幅增加。

表2 模型参数

图5 垂直有限长线源与电偶源径向电场响应Fig.5 Radial electric field response of vertical finite line source and electric dipole source(a)纵向电阻率敏感度分析;(b)Er电场响应归一化振幅

图6 线源发射频率对|Er|响应的影响Fig.6 Influence of line frequency on |Er| response(a)固定收发距,线源频率对电场响应的影响;(b)归一化电场;(c)线源不同埋深最佳发射频率;(d)不同背景电阻率时最佳发射频率 (L=401 m)

图7 各向异性覆盖层和基底层对径向电场响应影响Fig.7 Effect of anisotropic covering layer and basement layer on the response of radial electric field(a)各向异性覆盖层;(b)各向异性基底层

3.2 发射频率对各向异性地层电场响应的影响

为了研究垂直长线源作为激励源，观察油气藏等异常地质体受压力孔隙度等复杂因素影响表现纵向各向异性特征对电场响应的影响，需要考虑供电电流的发射频率，在地表固定位置接收不同供电频率形成的一次电场分量，由于不同的频率所达到的传播深度的不同，且电流流过不同电阻率的异常体接收的场分量不同，需要选取适当的发射频率，采用表2模型一薄油气层模型，上下围岩选取疏松页岩和变质岩组成的岩体，电阻率为10 Ω·m，发射频率范围为5 Hz～325 Hz之间，间隔为10 Hz，固定接收点位于(2500，0，0)m处，观察径向电场响应在有无油气储层(ρ2)以及油气呈各向异性特性时的响应特征。

图6(a)在Z0(2500，0，0)m处的径向电场响应以及对其求归一化电场得到的图6(b)可以明显看出，在线源的发射频率高于200 Hz左右时，径向电场响应明显不受频率的增加发生变化，即线源供电频率不能高于200 Hz，否则会出现响应分量对地层异阻体电阻率变化不敏感而影响对地层信息的反演。同时也可以看出频率在30 Hz左右，电场响应分量对含油气储层情况异常响应最明显，但在70 Hz左右异常电场响应受油气各向异性影响最明显，为了更好地描述发射频率范围，把上述两种不同情况频率的取值的均值作为最佳发射频率；对于图6(c)，线源长401 m，d为线源上端点距离表层Z0的距离，由图中数据可以看出，随着线源埋深的增加最佳发射频率增加，线源最佳发射频率受线源埋深的影响较大。同时由图6(d)发现，背景电阻率即油气上下层电阻率分别为10 Ω·m、50 Ω·m、100 Ω·m和200 Ω·m，分析了线源长度L=401 m时的最佳线源发射频率，地层背景电阻率越高，提取近区接收点地电信息的线源发射频率则增高，线源最佳发射频率取值并随收发距的增加而降低。综上分析：针对不同线源埋深，背景电阻率等，要最佳提取近区以及远区的地电信息，线源的发射频率应适当选取。

3.3 各向异性覆盖层和基底层对电场响应的影响

考虑覆盖层和基底层各向异性，模型参数分别为表2模型二和模型三，分析模型参数变化对径向电场振幅响应的影响，油气层上下层为低阻围岩，油气层ρ2=100 Ω·m，同样观察在测线x=(20～10 000)m上的300个接收点的Er电场分量响应，低阻覆盖层会屏蔽电磁波的传输，由图7(a)可以看出,覆盖层纵向电阻率ρv的减小对电场向下的传播产生了一定的影响，Er振幅在远区测线方向衰减明显；由图7(b)可以看出，基底层表现各向异性对测线方向的电场影响不大，只在5 000 m之后略微受影响。由上分析，覆盖层各向异性对获取测井信息的影响较大，非常规基底层对垂直线源测井的影响基本可以忽略。

4 结论

我们在前人的基础上，通过对垂直线源在各向异性地层通式的推导，得到地面测点的的电磁场响应，并通过和Comsol Multiphysics仿真软件论证公式的正确性，通过编程Fortran程序求解与仿真软件对比表现该计算方法的时效性和正确性，同时分析了有限长线源对异常体的敏感度，覆盖层和基底层各向异性对电场分量响应的影响等，并得到以下结论：

1)相比垂直电偶源，线源识别油气藏的敏感度高，受异常体影响的径向电场异常响应增幅较大，识别能力强。

2)由沿测线方向的电场响应可以看出，径向电场主要受油气藏(异常地质体)的纵向电阻率的影响，对横向电阻率的变化不敏感，且线源的发射频率应保持在适当范围内，才能达到最佳探测效果。

3)对于上下低阻围岩的高阻油气薄层来说，电场异常响应受上覆盖层各向异性的影响明显，而受基底层的纵向电阻率变化影响甚微。