黄瑞华

【摘要】《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.”

【关键词】数学教学;案例分析;知识引导

一、案例背景

《数学课程标准（修改稿）》在实施建议中明确指出：“教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材.”黄老师上的一节研讨课《三角形内（外）角平分线探秘》为我们一线教师如何活用教材中的习题资源、演绎个性教学做了一次很好的示范.

二、案例描述

师：这节课我们主要研究三角形的内（外）角平分线.【板书课题：三角形内（外）角平分线探秘】

变式1 如图所示，△ABC的两条外角平分线交于点P，若设∠A=α，请用含α的代数式表示∠P的度数.

师：会求∠P的度数吗？请做在作业单上.

师：同学们在解这题时把前面题目的研究思路迁移过来求解，这是一种方法.还有不同的思考方法吗？（学生无反应，教师引导）前面我们已经知道∠BOC=90°+12α，你能否在求∠P时把它与∠BOC联系起来看？（教师发现学生还是无头绪，继续引导）都不知道，那我再问一个问题∠OBP等于多少度？

生：90°.

师：知道是90°请举手，举手的不多.那我们来看  这两个角互补，做出它们的角平分线 ，则∠1和∠2组成的角就等于90°，这里我们也运用了整体思想，基本图形必须把握住，基本图形很重要，很多几何问题就是从基本图形演变而来的，我们要学会从复杂的图形中寻找出基本图形.现在我们一起来看，由基本图形可知∠OBP=90°，能把∠P与∠BOC联系起来吗？

生1：由前面的基本图形可知∠OBP和∠OCP都是90°，一个三角形的内角和为180°，两个三角形中六个内角和就是360°，减去两个直角后得∠BOC+∠P=180°，对吧？（同学和听课的教师都被他说话的语气给逗笑了）我把它们看成一个整体嘛.把180°减去∠OBC，可得∠P=90°-12α.

师：你们都听懂了吗？（生说懂）这位同学太厉害了，思路很清晰，讲得也很完整.他从三角形的角度出发去考虑，如果眼光放遠一点，不看三角形，看四边形，你会求吗？.

生2：我会我会.由四边形的内角和为360°，有两个角是直角，就可得∠BOC+∠BPC=180°，后面求法都一样.

师：做这个题目时把两个题目联系起来去看，境界就高了.

师：刚才我们从研究两条内角平分线到研究两条外角平分线，是从形内到形外进行了研究.接下来怎么玩？

生：一条内角平分线和一条外角平分线.

变式2 如图所示，BQ，CQ分别是△ABC的内、外角平分线，若设∠A=α，请用含α的代数式表示∠BQC的度数.

（同学们埋头解题，教师巡视并不时给予指点.）

师：你们是怎么求的？

生3：我把∠BQC与∠BOC联系起来看……

生4：我把∠BQC与∠BAC联系起来看……

（预约的精彩粉墨登场了，同学们兴高采烈地汇报各自的解题方法，脸上洋溢着喜悦的神情.）

师：你们太棒了！真是八仙过海，各显神通啊！

师：刚才同学们已经会把两个角联系起来看，你能把这三个角都联系起来吗？请小组合作解决.

变式3 如图所示，BO，CO是△ABC的内角平分线，BP与CP是△ABC的外角平分线，BO，PC的延长线交于点Q，试找出∠P，∠Q与∠BOC之间的数量关系.（顿时，这群小家伙又“骚动”起来了，彼此之间“交头接耳”讨论开了.黄老师也不时参与小组的讨论.）

在同学们的思考和合作交流下，他们找到了两角之间的关系∠BOC+∠P=180°，∠P+∠Q=90°，∠BOC-∠Q=90°，然后探索出：∠BOC+2∠P+∠Q=270°，2∠BOC+∠P-∠Q=270°，∠BOC-∠P=2∠Q.

三、案例评析和反思

（一）活用习题资源，发掘问题探究

在本案例中，黄老师先带领学生对解题背后的本质进行探究，接着将原题中的∠A=40°改为∠A=α让学生探索，之后由学生来确定探究的方向：他们把两条内角平分线改为两条外角平分线与一条内角平分线和一条外角平分线进行探究，最后再让学生去寻找出图形中三个角之间的数量关系.这样的探究活动既符合学生的认知规律，又践行了“以生为本，以学定教”的教学理念.

（二）立足方法引领，随机提问诱导

在本案例中，黄老师在变式1解题后中追问还有不同的思考方法吗？当学生茫然时，教师就缩小提问的范围“能否把∠P与∠BOC联系起来看？”当学生还无头绪时就再问一个问题∠OBP等于多少度？最终使问题落在了学生的最近发展区.经过教师的不断追问，使学生不断地体验到数学解题中一般有用的方法，开阔了他们的视野，激活了他们的思维，提高了他们的数学素养.

（三）关注个性发展，赏识激励学生

在本案例中，黄老师在变式1中，当同学像老师一样阐述自己想法时，黄老师大力表扬“这位同学太厉害了，思路很清晰，讲得也很完整.”在变式2的求解中就体现出八仙过海各显神通了！特别是在变式3中当同学们探索出三个角之间的多种关系时，他们欢呼雀跃，享受着成功带来的喜悦.

总之，在初中数学课堂教学中，教师要激活教材资源，精心组织教学，努力创建出“让学生乐学，让教师乐教”的“高效、愉悦”的课堂来，让课堂成为师生一段智慧闪动、激情四射、合作共享、协作共进的生命之旅！

【参考文献】

[1]蔡利明.活化教材资源演绎个性化课堂教学[J].中学数学教育，2013（5）9-11.

[2]王锋.积累解题经验提升创新能力[J].中学数学教育，2013（10）：30-33.