解数学题要克服思维定式

2019-11-16文谢

初中生世界 2019年39期

关键词：圆周角定式动点

文谢倩

（作者单位：江苏省无锡金桥双语实验学校初中部）

数学学习与数学解题中，同学们由于受已经形成的经验或者是已有模式的影响，往往会因思维定式而造成错误。

一、思维定式造成的解题思路窄化

例1 如图1，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB=CD。求证：PA=PC。

图1

图2

图3

【思维定式】由于AB、CD是⊙O相等的弦，因此过圆心O分别作AB、CD的垂线，如图2，然后朝着PA=PC的方向寻找条件。

【原因分析】由于受“垂径定理”或“同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么可以得到这两条弦上的弦心距相等”的思维定式的影响或制约，使解题思路受限。

【解题反思】根据圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，再利用等腰三角形的判定即可得到解决问题的有效方法。

二、思维定式造成的解题思路呆板

例2 如图4，在正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为_______。

图4

【思维定式】若点E、F分别运动到AD、DC 中点时，则时，线段DP的最小值为；若点E、F分别运动到AD、DC终点时，则AF=所以，线段DP的最小值为综上所述，线段DP的最小值为或

【原因分析】从特殊情况考虑，不一定是问题的答案。

【快速求解】由正方形ABCD得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°。

∵点E、F运动速度相同，运动时间相同，∴AE=DF，

在△BAE和△ADF中，

∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，

∴△BAE≌△ADF，

∴∠ABE=∠DAF，

∴∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=90°，∴∠APB=90°，

∴点P在以AB为直径的半圆上运动，如图5，当圆心O、点P和点D在同一条直线上时，DP最小，为 5-1。

图5

【解题反思】从特殊到一般尽管是解决问题的一种思想方法，但是本题的思路与方法，同学们更应该了解和掌握。

三、思维定式造成的解题思路固化

例3 如图6，点A与点B的坐标分别是A（1，0），B（5，0），P是该平面直角坐标系内的一个动点。

图6

（1）使∠APB=30°的点P有_____个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否存在最大值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【思维定式】题中给出的图，只考虑点P在第一象限，造成漏解。

【原因分析】（1）中由∠APB=30°，很容易想到点P在某个圆上运动，当弦AB不变时相应的圆周角大小不变，所以符合要求的点P有无数个；受（1）的启发，可以断定点P为该圆与y轴的交点，但此时我们又不擅长补圆，以致无法求出点P的坐标，或者部分同学能确定圆心和半径，进而求出圆与y轴的交点坐标，但忽略点P在x轴下方的情形。

【快速求解】（1）线段AB=4，∠APB=30°确定时，角的顶点P在以AB为弦的

M和 M′上，其轨迹（除A、B点外）如图7所示，故符合要求的点P有无数个。