摘 要：本文笔者从引进无字证明图证明两个锐角差余弦公式的问题情境入手，通过设置具有逻辑关系的问题链，引导学生在最近发展区内思考问题和解决问题，培养了学生的逻辑推理的思维能力和数学运算能力，提升了学生的数学核心素养。

关键词：核心素养;问题情境;问题链;逻辑推理

一、 教学背景分析

本节课是高中数学必修4（人教A版）第三章3.1.2两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其他的公式，因此本节内容对于后续内容三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。笔者所在的地区考虑到知识的系统性，必修4的教学顺序采取“三角函数——三角恒等变化——平面向量”，先把三角函数学完，再学平面向量，然后在平面向量的应用举例中安排用向量法证明两角差的余弦公式的应用探究题，这样安排既不影响向量的工具性价值，又不割裂三角函数知识的系统性。所以在学习本章之前学生没有学习过向量的相关知识，因此笔者先引进无字证明图证明两个锐角差的余弦公式的教学情境，以激发学生的学习兴趣与热情，后又以问题链的教学模式在单位圆中将其公式扩展为任意角，这样不仅有利于提高学生的参与度，还有效地培养了学生的数学核心素养。

二、 教学过程

设计意图：例1呼应环节2的问题提出，例2是对公式的简单逆用，例3及思考是对公式的一个综合运用。

环节5 课堂小结，提炼思想方法

1. 我们要深刻理解和领会在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合思想、化归转换思想、归纳法、合情推理、构造法、换元法等.

2. 在差角的余弦公式运用中，要注意角的灵活变换，如，α=（α+β）-β，2β=（α+β）-（α-β）等，其中α，β既可以是单角，也可以是复角，同时解题时要注意公式的正向、逆向以及公式的变式形式的选择.

三、 教学反思

本节在教学设计上，力求达到知识与能力双重提升。知识上重点为建立公式，学会变换，能力上发展学生的推理和运算的能力。本节课的重难点是公式推导，在没學过向量的前提下进行两角差余弦公式的推导更是难上加难。如何做到让学生深刻并理解掌握两角差余弦公式的推导，从而发展学生的核心素养，笔者认为问题链的设置功不可没。

（一） 营造问题情境，激发学生学习兴趣

本节课从问题3开始，就鼓励学生大胆的猜想两角差余弦公式，接着让学生验证自己的猜想cos（45°-30°）=cos45°-cos30°是否成立，学生通过简单的验证发现自己的猜想并不成立，那么公式应该是什么呢？这时学生就会非常渴望知道两角差余弦公式到底是什么。于是适时引入20世纪90年代末美国《数学杂志》的两角差余弦公式的无字证明图。这张图由简单的矩形与直角三角形构成，并且清晰明了的展现了两角差余弦公式，还让学生感受到了我国现代数学与世界数学的紧密联系。这让学生学习两角差余弦公式的兴趣达到高潮。

（二） 设置具有逻辑关系的问题链，发展学生的逻辑推理能力

引入无字证明图能快捷省时的得到两角差余弦公式，但要把公式中的两个锐角推广到任意角，就需要注意引导学生如何应用对比、联系、化归等思想去分析、解决问题，强化分类讨论的数学思想和转化与化归的思想来指引整个证明过程。这些方法与思想就要转化为有逻辑关系的具体问题链，让学习根据这些问题链积极思考。本文通过问题7到问题11这5个循序递进的问题链，引导学生思考问题、发现问题和解决问题，最终突破重难点取得两角差余弦公式。学生在问题链的引导下探究两角差余弦公式本质的过程中，发展了逻辑推理能力，提升了数学素养。

（三） 在学生的最近发展区设置问题链，提高课堂效率

在学生的最近发展区设置有梯度的问题链，有助于激发学生的学习兴趣、发挥学生的学习主动性、提高课堂的参与度。探究2核心是利用

|P0P3|=|P1P2|得到两角差余弦公式，但从单位圆中直接得到|P0P3|=|P1P2|严重脱离了学生的最近发展区，所以笔者加设了问题8、问题9，降低难度，让学生很自然的找到思考方向，最后收获了两角差余弦公式的证明，提高了课堂效率。

总之，通过设置具有逻辑关系的问题链，引导学生在最近发展区内思考问题和解决问题，培养了学生的逻辑推理的思维能力和数学运算能力，提升了学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]孙静.用细节打造高效的课堂[J].考试周刊，2018（90）.

[2]徐传俊.高中数学高效课堂的构建对策分析[J].好家长，2018（82）.

[3]武桂花.精心设计问题链，引领高效新课堂——基于数学核心素养下的问题链设计[J].课程教育研究，2019（3）.

[4]徐林.新课堂榜样 初中数学开放题竞赛[J].中学生数理化（初中版），2005（6）.

[5]于波，衡云.新课堂榜样 初中数学操作探究知识竞赛[J].中学生数理化（初中版），2005（5）.

作者简介：游明霞，福建省福安市，福安市第一中学。