■安徽省利辛高级中学 胡 彬

一、知识结构框架

二、结构分析

在本章中，要了解数列的概念和几种简单的表示方法，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数关系；掌握求数列通项的几种常用方法；理解等差数列的概念及其与一次函数的关系；掌握等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，并熟练掌握其推导方法。能在具体的问题情境中识别数列的等差(等比)关系，并能以其相关知识解决相应的问题，熟练掌握等差(等比)数列的基本运算和相关性质；熟练掌握数列求和的常用方法。本部分一直是高考的热点与重点。预测2020年高考将会以等差(等比)数列的通项公式及其性质、前n项和公式及性质、数学文化知识等综合考查，有时考查数列与函数、不等式等知识的综合，以中档题为主。本部分涉及的数学思想主要为转化与化归思想、函数与方程思想、分类整合思想，考查的数学核心素养主要是数学运算、数学建模。

三、典例分析

例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

分析：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系。

解：(1)数列中的符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5)。

(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，故通项公式为

小结：解题时，需要注意以下几个特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并进行不完全归纳、联想、验证。

例2(2019年洛阳联考)已知数列的前n项和为Sn，对任意0恒成立，则实数t的取值范围是

分析：先利用通项公式的切入点an=来实现数列的通项与前n项和的相互转化，从而求出an，再利用不等式恒成立问题转化为求t的范围。

解：当n=1时3，解得；当n≥2时

当n为偶数时，此时n-1为奇数，所以当n为奇数时为正奇数)；当n为奇数时，此时n-1为偶数，所以当n为偶数时，an=3-为正偶数)。

所以当n为正奇数时，数列{an}为递减数列，显然其最大值为；同理，当n为正偶数时，数列{an}为递增数列，其最小值为若由恒成立，则，即

小结：本题考查数列的通项an与前n项和Sn之间的关系，数列的单调性与不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，以及逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算。

例3(2019年江西八校联考)设数列｛an｝满足

分析：(1)由条件构造，根据定义获证；

(2)由(1)求出a，进而

n求bn，根据数列{bn}的通项特征选择裂项相消法求前n项和Tn。

解：(1)因为，所以又a=1，所以1，所以数列是以-1为首项为公差的等差数列。

小结：本题主要考查等差数列的定义、等差数列的通项公式、裂项相消法求和等知识，考查考生的化归与转化能力及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算。

例4(2018年福州八校联考)已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an+2(n∈N*)。

(1)求证：{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

分析：(1)由递推关系构造an+1+2=2(an+2)，根据等比数列的定义知{an+2}是等比数列，从而求出an；(2)将(1)中的an代入bn，得到bn，用错位相减法求和，再由Sn的单调性给予证明。

解：(1)由an+1=2an+2(n∈N*)，得an+1+2=2(an+2)。又因为a1=3，所以a1+2=5，所以{an+2}是首项为5，公比为2的等比数列。所以an+2=5×2n-1，所以an=5×2n-1-2。

所以对任意n∈N*，都有

小结：本题主要考查等比数列的判定方法及错位相减求和法的应用，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算。

例5设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，n∈N*。

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有

分析：(1)由Sn与a1的关系直接求出a1的值；(2)利用前n项和与第n项的关系an=求解；(3)根据的通项公式，结合放缩法证明。

解：(1)令n=1代入得，又因为a1=S1，所以，解得a1=2(负值舍去)。

又已知各项均为正数，故Sn=n2+n。

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n。当n=1时，a1=2也满足上式，所以an=2n，n∈N*。

(3)设k∈N*，则4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0，所以4k2+2k≥3k2+3k，所以

小结：与数列前n项和有关的不等式的证明方法主要有两种：(1)若数列的通项能够直接求和，则先求和，再由和的特征证明不等式；(2)若数列的通项不能直接求和，则先放缩后再求和证明。此类证明问题能有效地考查考生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力。考查的核心素养是逻辑推理与数学运算。