■赵 昆

题型1：空间几何体的结构特征

把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力;紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，变换模型中的线面关系;通过反例对结构特征进行辨析。

例1现有以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台;④球面上四个不同点一定不在同一平面内。

其中正确命题的个数为（ ）。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：由圆台的定义可知，①错误，②正确。对于③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③错误。对于④，在截面圆的圆周上任取四个不同的点，则这四个点在球面上，④错误。应选A。

跟踪练习1：给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱。

提示：对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，①错误。对于②，等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图1），②错误。对于③，底面有可能不是矩形，③错误。对于④，由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，④正确。综上可知，①②③不正确。

图1

题型2：空间几何体的三视图

对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图。由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：①看视图，明关系;②分部分，想整体;③综合起来，定整体。

图2

例2如图2所示，在正方体A B C D-A1B1C1D1中，P为B D1的中点，则△P A C在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）。

A.①② B.①④

C.②③ D.②④

解：由题意可知，平面P A C⊥平面A B C D，且点P在各个面内的正投影均为正方形的中心。根据对称性，只需考虑△P A C在底面、后面、右面的正投影即可。显然△P A C在底面的正投影为正方形的对角线，在后面与右面的正投影相同，均为等腰直角三角形。应选B。

跟踪练习2：如图3，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）。

图3

提示：由三视图可知该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，圆锥的高为2，则其体积应选A。

题型3：空间几何体的直观图

（1）在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中仍然与x′轴或y′轴平行。（2）原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线。（3）原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接。直观图的面积与原图形的面积有以下关系：S直观图=

例3已知正三角形A B C的边长为a，那么△A B C的平面直观图△A′B′C′的面积为

解：图4所示的是正△A B C，图5所示的是正△A B C的直观图△A′B′C′。

图4

图5

跟踪练习3：已知等腰梯形A B C D，上底，腰下底A B=3，以下底所在直线为x轴，线段A B的垂直平行线为y轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为

提示：图6为等腰梯形A B C D，作出等腰梯形A B C D的直观图梯形A′B′C′D′，且E′F为其高，如图7所示。

图6

图7

题型4：空间几何体的表面积

求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形，利用求平面图形面积的方法得到多面体的表面积。求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系。求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，得到所给几何体的表面积。

例4如图8，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）。

图8

A.5 π+18 B.6 π+18

C.8 π+6 D.10 π+6

解：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为应选C。

图9

跟踪练习4：如图9，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）。

提示：该几何体是一个球被切掉左上角的后剩余的部分。设球的半径为R，则体积，解得R=2，所以它的表面积是的球面面积与三个扇形面积之和，即17 π。应选A。

题型5：空间几何体的体积

求空间几何体的体积的三种方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算。（2）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算，或者把不规则的几何体补成规则的几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算。（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即三棱锥的任意一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换。

例5已知正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，除面A B C D外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图10），则四棱锥M-E F GH的体积为

图10

解：依题意可得该四棱锥M-E F GH为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为正方形E F GH的边长为其面积为所以四棱锥M-E F GH的体积VM-E F GH=

跟踪练习5：如图11所示，在边长为2的正方形A B C D中，圆心为B，半径为1的圆与A B，B C分别交于点E，F，则阴影部分绕直线B C旋转一周形成几何体的体积等于（ ）。

图11

提示：由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线B C旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥。该圆柱的底面半径R=B A=2，母线长l=A D=2，故该圆柱的体积V1=π×22×2=8 π;半球的半径为1，其体积;圆锥的底面半径为2，高为1，其体积所以阴影部分绕直线B C旋转一周形成的几何体的体积V=V1-V2-V3=6 π。应选B。

题型6：与球有关的切、接问题

“切”的处理方法：解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解题时首先要找准切点，通过作截面来解决，如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。“接”的处理方法：把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径。

例6三棱锥P-A B C中，△A B C为等边三角形，P A=P B=P C=3，P A⊥P B，三棱锥P-A B C的外接球的体积为（ ）。

解：以P A，P B，P C为过同一顶点的三条棱作正方体，如图12所示。

图12

在三棱锥P-A B C中，△A B C为等边三角形，P A=P B=P C=3，△P A B≌△P B C≌△P A C。因为P A⊥P B，所以P A⊥P C，P C⊥P B。故正方体的外接球同时也是三棱锥P-A B C的外接球。因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径因此三棱锥P-A B C的外接球的体积应选B。

跟踪练习6：已知一块直三棱柱形状的玉石，记为三棱柱A B C-A1B1C1，其中A B=10 c m，A C=6c m，B C=8c m，A A1=4c m。若将此玉石加工成一个球，则此球的最大体积为（ ）。

提示：在△A B C中，由A B=10，A C=6，B C=8，A B2=A C2+B C2，可知△A B C为直角三角形。在R t△A B C中，设其内切圆的半径为r，则，易知2r=A A1，所以当此玉石加工成的球是直三棱柱A B C-A1B1C1的内切球，即球的半径R为底面直角三角形内切圆的半径（R=2 c m）

题型7：其他内切球与外接球问题

几何体与球有关的组合问题，一种是内切，一种是外接。这两种特殊的位置关系是高考考查的热点，应引起同学们的重视。

例7已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于（ ）。

解：设该圆锥的外接球的半径为R。

跟踪练习7：一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为

提示：由题意知，正六边形的外接圆半径r=1，正六棱柱的高h=1，所以球的半径为故该球的体积V=

题型8：数学文化问题

近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有。这类问题可以从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题求解。

例8《九章算术》卷五“商功”中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何。刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（图13的网格纸中粗线部分为其三视图，网格纸上每个小正方形的边长为1），那么该刍甍的体积为（ ）。

图13

A.4 B.5

C.6 D.12

解：画出刍甍的直观图为几何体A B C D E F，如图14所示。

图14

过E，F分别作垂直于底面的截面E GH和FMN，将原几何体分割成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为高为2的三棱柱。所以几何体A B C D E F的体积应选B。

跟踪练习8：我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何。意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，问谷堆的高是多少。若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为（ ）。（1斛≈1.62立方尺，π≈3）

A.5尺 B.9尺

C.10.6尺 D.21.2尺

提示：设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2 πr=54，r=9。

由谷堆内接于一个球状的外罩，可设球的半径为R尺，则R2=（h-R）2+r2，解得R=10.6（尺），故2R=21.2尺。应选D。

题型9：空间几何体的表面积和体积的最值问题

（1）根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断。（2）利用基本不等式或建立关于表面积或体积的函数关系式，利用函数求最值的方法解决。

例9三棱锥P-A B C的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面A B C所在的小圆面积为16 π，则该三棱锥的高的最大值为（ ）。

A.4 B.6

C.8 D.10

解：由题意可设球的球心为O，半径为R，△A B C的外接圆半径为r，则解得R=5。由πr2=16 π，解得r=4。因为球心O到平面A B C的距离为=3，因此三棱锥P-A B C的高的最大值为5+3=8。应选C。

跟踪练习9：在棱长为1的正方体A B C D-A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段A B，B D1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1A DD1，则四面体P1P2A B1的体积的最大值是（ ）。

提示：如图15，在棱长为1的正方体A B C D-A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段A B，B D1上的动点，且线段P1P2平行于平面A1A DD1。易得△P1P2B∽△A D1B。

图15

设P1B=x，x∈（0，1）。由相似比可得易得点P2到平面A A1B1B的距离也为x，则四面体P1P2A B1的体积为故当时，体积应选A。