■刘中亮

一、选择题

1.现有以下四个命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。

其中正确命题的个数为（ ）。

A.0 B.1

C.2 D.3

2.如图1，在底面边长为1，高为2的正四棱柱A B C D-A1B1C1D1（底面A B C D是正方形，侧棱A A1⊥底面A B C D）中，点P是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥P-B C D的正视图与俯视图的面积之和的最小值为（ ）。

图1

图2

3.一个锥体的正视图和侧视图如图2所示，在下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）。

4.如图3，四棱柱A B C D-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥S-A B C D是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）。

图3

5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何。”羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图4所示（粗线），其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）。

图4

A.40

B.43

C.46

D.47

6.图5是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体A B C D E的体积为（ ）。

图5

7.如图6，网格纸上小正方形的边长为

1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）。

图6

8.一个几何体的三视图如图7所示，则它的表面积为（ ）。

图7

9.已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（ ）。

10.已知三棱锥P-A B C的所有顶点都在球O的球面上，△A B C满足∠A C B=90°，P A为球O的直径且P A=4，则点P到底面A B C的距离为（ ）。

11.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将该圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（ ）。

A.圆面

B.矩形面

C.梯形面

D.椭圆面或部分椭圆面

12.《算术书》竹简于上世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V=，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周

13.一个几何体的三视图如图8所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）。

图8

14.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）。

A.直角三角形

B.等边三角形

C.正方形

D.正六边形

15.已知正三棱锥P-A B C的正视图和俯视图如图9所示，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）。

图9

16.图10是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（ ）。

图10

17.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图11所示，则相应的侧视图可以为（ ）。

图11

18.如图12，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）。

图12

19.某几何体的三视图如图13所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x为（ ）。

图13

A.2 B.4.5

C.1.5 D.3

20.某几何体的三视图如图14所示，则该几何体的体积为（ ）。

图14

21.已知一个球的表面上有A，B，C三点，且，若球心到平面A B C的距离为1，则该球的表面积为（ ）。

A.20 π B.15 π

C.10 π D.2 π

22.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积都相等，它们的表面积分别为S正、S柱、S球，则（ ）。

A.S正＜S球＜S柱B.S正＜S柱＜S球

C.S球＜S柱＜S正D.S球＜S正＜S柱

二、填空题

23.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑。若三棱锥P-A B C为鳖臑，侧棱P A⊥底面A B C，A C⊥B C，且P A=2，A C=3，B C=4，则该鳖臑的内切球的半径为

24.如图15，正方形网格的边长为1，粗线表示的是某几何体的三视图，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

图15

25.已知四棱锥P-A B C D的侧棱长相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P-A B C D的体积为

26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，该书系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就。书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图16所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为

图16

27.一个几何体的三视图如图17所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧视图的面积是

图17

28.在半径为4的球面上有不同的四点A，B，C，D，若A B=A C=A D=4，则平面B C D被球所截得图形的面积为

29.在棱长为2的正方体A B C DA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为

30.三棱锥A-B C D的所有顶点都在球O的表面上，A B⊥平面B C D，B C⊥C D，A B=1，B C=2，C D=3，则球O的表面积为

三、解答题

31.已知四棱锥P-A B C D的体积为其三视图如图18所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形。

图18

（1）画出四棱锥P-A B C D的直观图，并求出正视图的面积。

（2）求四棱锥P-A B C D的侧面积。

32.一个三棱柱（高为侧棱长）形容器中盛有水，且侧棱A A1=12，当底面A B C水平放置时，水面的高为9。如图19，若A A1B1B水平放置时，水面与棱A C交于点D，试确定点D在棱A C上的位置，并说明理由。

图19