■陈竹林

如果函数y=f（x）在x=a处的函数值等于零，即f（a）=0，则称a为函数y=f（x）的零点，也即函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根。因此函数的零点把函数与方程紧密地联系在一起。函数的零点，不仅体现了方程与函数之间的转换，也展现了数形结合的思想方法，且已成为高考命题的一个新亮点。下面归纳总结函数的零点在解题中的应用。

一、利用函数的零点解不等式

例1二次函数y=a x2+b x+c的部分对应值如表1。

表1

则不等式a x2+b x+c＞0的解集是

解：由表中数据可知函数的两个零点分别为-2和3，这两个零点将其余实数分为三个区间：（-∞，-2），（-2，3），（3，+∞）。在区间（-∞，-2）中取特殊值-3，由于f（-3）=6＞0，因此根据二次函数变号零点的性质可得，当x∈（-∞，-2）时，都有f（x）＞0;当x∈（-2，3）时，都有f（x）＜0;当x∈（3，+∞）时，都有f（x）＞0。故所求不等式的解集为（-∞，-2）∪（3，+∞）。

二次函数的图像是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解一元二次不等式。

练习1：解不等式：-3x2+7x+6＞0。

提示：设函数g（x）=-3x2+7x+6。令g（x）=-3x2+7x+6=0，解得或x=3。

二、利用函数的零点求其他函数的零点

例2若函数f（x）=a x+b有一个零点是2，那么函数g（x）=b x2-a x的零点是（ ）。

解：由已知可得b=-2a，所以g（x）=-2a x2-a x=-a（2x2+x）。令g（x）=0，解得应选C。

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，由此得到b=-2a是解题的关键。

练习2：设x0为函数f（x）=s i n πx的零点，且满足，则这样的零点有（ ）。

A.61个 B.63个

C.65个 D.67个

提示：依题意可知f（x0）=s i nπx0=0，可得πx0=kπ，k∈Z，即x0=k，k∈Z。当k是奇数时所以，即|k|＜34，满足这样条件的奇数k共有34个。当k是偶数时所以，即|k|＜32，满足这样条件的偶数k共有31个。综上所述，满足题意的零点共有34+31=65（个），应选C。

三、已知方程的根或函数的零点求参数的取值范围

例3已知函数f（x）=其中 。若存在实m＞0数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，求m的取值范围。

解：画出函数f（x）与y=b的图像，如图1所示。

图1

当x＞m时，x2-2m x+4m=（x-m）2+4m-m2，要使方程f（x）=b有三个不同的根，则4m-m2＜m，即m2-3m＞0，可得m＞3或m＜0。又m＞0，故m＞3。

已知函数有零点（方程有根）求参数的取值范围有三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围。（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决。（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后利用数形结合法求解。

练习3：若方程有两个不相等的实数解，求实数b的取值范围。

提示：因为，即x≥0，所以方程有两个不相等的实数解，就是函数上有两个不同的零点。函数可视为关于的一元二次函数，令可得y=f（t）=t2-8t+b，画出函数f（t）的图像，如图2所示。

图2

四、利用函数的零点与方程根的关系，求参数的值（或范围）

例4已知关于x的方程3x2-5x+a=0的两根x1，x2满足x1∈（-2，0），x2∈（1，3），求实数a的取值范围。

解：依题意可知关于x的方程3x2-5x+a=0的两根x1，x2满足x1∈（-2，0），x2∈（1，3），即函数f（x）=3x2-5x+a的两个零点x1，x2满足x1∈（-2，0），x2∈（1，3），所以结合二次函数f（x）=3x2-5x+a的图像可得由此代入解得-12＜a＜0。故实数a的取值范围为（-12，0）。

由于函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，所以在研究方程的有关问题，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图像加以解决。

练习4：若函数f（x）=2a x2-x-1在区间（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是

提示：显然，a≠0。当函数f（x）有两个零点时，可得解得a1;＞

当函数f（x）有唯一的零点时，可得Δ=0，即，此时零点为-2∉（0，1），不合题意。

综上可知，a＞1。