周成伟 郑 航 顾宇杰 王 勇 史治国*

①(浙江大学控制科学与工程学院 杭州 310027)

②(浙江大学信息与电子工程学院 杭州 310027)

③(天普大学电子与计算机工程系 费城 19122)

1 引言

阵列信号处理通过布设的传感器阵列对空域信号进行采样和处理，以提取信号特征及其信息，在雷达、声呐、语音、天文成像、无线通信等领域均有着广泛的应用。波达方向估计和波束成形是阵列信号处理领域的基本问题，在理论、技术和应用层面均受到研究人员的广泛关注。

以雷达领域为例，阵列信号处理在相控阵雷达、多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷达、机载雷达等各类应用中发挥着重要的作用，雷达技术的发展与阵列信号处理理论与技术的研究相辅相成、互相促进。举例而言，近几十年间，相控阵在雷达系统中逐步推广应用，它通过大量可独立控制的天线单元排列成天线阵面，并利用各单元形成不同的相位波束，在空间中辐射出具有不同方向性的波束[1]。相控阵具备电子扫描特性和相位可控的阵列天线结构，具有快速波束扫描的能力，能够同时对多个目标进行搜寻和跟踪[2]。通过在相控阵雷达体制的基础上结合数字波束成形(digital beamforming)技术[3]，数字阵列雷达(digital array radar)实现了雷达系统的高效化运作[4]；与此同时，为了获取相控阵雷达信号的角度和多普勒频率联合估计[5,6]，空域参数估计方面形成了一系列高精度算法，包括2维多重信号分类(MUltiple SIgnal Classification,MUSIC)方法[7]、2维子空间旋转不变(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT)方法[8]以及应用于机载相控阵脉冲多普勒雷达中的基于分数低阶矩方法[9]。相较于通过多个天线阵元发射相同波形的相控阵雷达，空间分集思想的引入使得能够通过多天线阵元发射多种信号波形的MIMO雷达开始兴起[10]。MIMO雷达利用多天线阵元结构同步发射分集波形，并同时使用多个天线接收回波信号进行收发信号的集中处理[11]，在目标检测、参数估计和识别、分辨能力等方面均具有明显优势[12–14]。为了在MIMO雷达中实现精确的目标方位识别，相关研究形成了基于ESPRIT方法的双基地MIMO雷达系统到达角和离开角联合估计[15]，基于张量模型的双基地MIMO雷达角度估计和阵列互耦自校准方法[16,17]，基于车载MIMO雷达的低复杂度高分辨参数估计[18]，基于分布式MIMO雷达的移动目标和天线联动定位[19]，面向MIMO雷达中波形非正交化情况下的新型波达方向估计[20,21]，以及MIMO雷达在存在未知空间有色噪声及阵列误差等非理想场景下的鲁棒参数估计[22–25]等一系列理论与技术应用。相控阵雷达和MIMO雷达作为经典的雷达体制，在包括车载雷达、机载雷达、星载雷达等在内的诸多场景中得到了广泛的推广应用。其中，机载雷达通常采用空时自适应处理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)技术检测低空运动目标并抑制环境杂波[26–28]。STAP方法通过空域和时域二维联合自适应滤波以实现杂波的有效过滤，典型研究包括基于STAP的无人机载雷达运动物体检测[29]，基于稀疏字典原子选择方法[30]，基于子阵列栅瓣杂波抑制方法[31]的机载MIMO雷达STAP算法，以及基于STAP的离网型角度/多普勒频率联合估计方法[32]。

无论是相控阵雷达、MIMO雷达还是机载雷达，其共同特点是基于传感器阵列天线，并利用阵列信号处理方法实现目标检测、方位估计及跟踪等一系列功能。出于规则性阵列结构和奈奎斯特采样速率的限制，均匀阵列是传统雷达系统中最为常用的天线阵列结构。然而，为了满足奈奎斯特采样定理，均匀阵列中相邻天线阵元的间距需不大于半波长，故阵列孔径相对受限；此外，采用均匀阵列的方法自由度受限于天线阵元个数，无法在信号源数目大于天线阵元个数的条件下进行有效的信号处理。若通过增加天线阵元个数的方式来获取更大的阵列孔径和更高的自由度，实际系统的部署成本和算法复杂度将随之大幅增加。因此，随着应用背景的革新和雷达技术的迅猛发展，均匀阵列已逐渐无法满足当前雷达领域应用日益增长的高效性和准确性等需求，传统方法在性能和成本方面的矛盾亟待解决。

为了克服上述挑战，美国加州理工学院课题组于2011年在文献[33]中首次提出了互质采样的构想和互质阵列的结构，奠定了互质阵列信号处理的理论基础。互质阵列是一种具有系统化结构的稀疏阵列，由一对阵元数满足互质条件的稀疏均匀线性阵列构成。互质阵列相较于传统均匀阵列，主要具备3方面优势：一是互质阵列的稀疏阵元排布能够实现入射信号的欠采样，从而突破奈奎斯特定理对天线阵元间距的限制；二是阵列孔径的扩展能够有效提升分辨率性能；三是互质阵列能够获得远超其物理阵元个数的自由度[33]，使得算法所能识别的信源数突破天线阵元数目的限制，从而节约了系统软硬件成本开销。为了充分利用互质阵列的上述优势以深入推进其在雷达系统中的应用，互质阵列的非均匀性及其信号模型的匹配问题亟待解决；为此，面向互质阵列的阵列信号处理理论与技术在近年来得到了广泛的关注和研究。

本文介绍了当前互质阵列信号处理领域的研究进展，分别从波达方向估计和自适应波束成形角度回顾了最新研究工作。具体而言，在互质阵列波达方向估计方面，本文介绍了基于互质子阵分解和虚拟阵列信号处理等两大类典型技术路线。其中，互质子阵分解方法通过探索稀疏阵列相位模糊的规则性，并利用质数的性质实现信号源的唯一性波达方向估计；虚拟阵列信号处理方法则利用增广虚拟阵列所对应的2阶等价信号统计量进行处理，相比于互质子阵分解方法具有更大的自由度。进一步地，本文分别从低复杂度和超分辨估计的角度介绍了互质阵列波达方向估计的最新研究：考虑到计算复杂度对于系统的实时性需求，本文介绍了基于压缩感知技术的互质阵列波达方向估计算法；另一方面，由于早期的虚拟域奈奎斯特匹配方法未充分利用增广虚拟阵列的信息，且存在基不匹配所导致的估计准确度受限问题，本文介绍了基于虚拟域阵元内插和无网格化技术的互质阵列波达方向估计算法。在互质阵列波束成形方面，本文在介绍互质阵列波束成形信号建模与工作原理的同时，指出了互质阵列信号处理框架下波束成形问题与波达方向估计问题的本质区别，并提出了面向非均匀互质阵列的波束成形器设计框架。基于上述框架，基于互质子阵分解的波达方向估计和基于互质子阵协方差矩阵联合优化的功率估计方法被提出，用于重建干扰加噪声协方差矩阵和期望信号导引向量，并以此构造互质阵列波束成形器的权重向量。最后，本文对互质阵列信号处理方向的现有研究工作进行了总结，并从互质阵列结构优化设计、互质阵列MIMO雷达以及非理想场景下的互质阵列鲁棒参数估计等方向提出了研究展望。

2 互质阵列信号建模

在介绍互质阵列波达方向估计和互质阵列波束成形的研究之前，本文首先介绍互质阵列的结构及其信号模型，作为后续算法设计的模型基础。互质阵列由如图1(a)所示的一对满足互质条件的稀疏均匀线性子阵列构成，子阵列的阵元数分别为M和N，且阵元间距分别为Nd和Md。其中，M和N为互质整数，单位间隔d取为半波长。将上述两个互质子阵以首个阵元叠加的方式进行线性组合，如图1(b)所示，除首个阵元外的其余阵元均不重叠[33]，故互质阵列共包含M+N-1个阵元，各阵元位置的数集形式可表示为

考虑空间中有K个方向为θk，k=1,2,···,K的非相关信号源入射至互质阵列 S上，则t时刻的互质阵列接收信号可建模为

图1 互质阵列结构示意图Fig.1 Illustration of the coprime array structure

其中，AS=[a(θ1),a(θ2),···,a(θK)]∈C(M+N-1)×K为互质阵列导引矩阵，s(t)=[s1(t),s2(t),···,sK(t)]T为信号波形向量，n(t)为加性高斯白噪声分量，[·]T表示转置操作。对应于第k个入射信号的互质阵列导引向量a(θk)可表示为

其中，λ为信号波长，uı ∈S,ı=1,2,···,M+N-1为互质阵列中各物理阵元的实际位置，。互质阵列接收信号的协方差矩阵定义为

与均匀阵列相比，互质阵列中的天线阵元被稀疏放置，因而极大地增大了阵列孔径，减少了阵元之间的互耦效应，进而为估计准确度和分辨率性能的提升奠定了基础。互质阵列具有系统化的稀疏阵列结构，在阵列设计的过程中，只需给定互质整数M和N就可以得到阵列架构，不需要通过复杂的优化问题求解或遍历搜索来确定阵列结构。同时，通过对阵列接收信号x(t)的2阶统计量RS进行向量化处理与建模，可将互质阵列信号模型扩展至虚拟域实现阵列的增广，并利用对应的2阶等价接收信号进行虚拟域信号处理。虚拟域信号处理能够有效摆脱传统方法自由度受物理阵元个数的限制，仅通过M+N-1个天线阵元即可获得高达O(MN)的自由度[33]。而与此同时，互质阵列本身的非均匀性不容忽视，故基于互质阵列的波达方向估计和波束成形方法需要充分考虑阵列本身的物理结构特征及其接收信号模型。

3 互质阵列波达方向估计

波达方向估计通过对阵列接收信号的统计处理实现入射信源相对方位角的估计，是雷达领域各类应用中的重要任务之一，也一直是国内外学术界、工业界研究的热点问题[34–36]。当前，互质阵列波达方向估计的算法设计可分为互质子阵分解和虚拟阵列信号处理等两类方法。其中，互质子阵分解方法具有计算复杂度低、估计精度高等优势，而虚拟阵列信号处理方法能够在充分利用互质阵列大孔径所带来的分辨率优势的同时，突破奈奎斯特采样定理的限制，实现波达方向估计自由度的增加。

3.1 基于互质子阵分解的波达方向估计

互质子阵分解方法的思路是将互质阵列分解为两个满足互质条件的稀疏均匀子阵列以分别进行波达方向估计，并利用质数的特性分析相位模糊的规律性，以获得对应于每一个信号源的唯一波达方向估计结果[37]。在文献[37]提出的“DECOM”算法中，传统的MUSIC思想被分别应用到一对互质稀疏均匀子阵列所对应的信号模型中，并通过谱峰搜索对生成的两个MUSIC谱分别进行搜索。由于稀疏子阵列的阵元间距大于半波长，波达方向估计存在相位模糊，图2给出了M=7和N=5条件下两个子阵MUSIC空间谱的相位模糊示意图。

图2 互质子阵列的MUSIC空间谱相位模糊示意图Fig.2 Phase ambiguity of the pair of coprime subarray in the MUSIC spatial spectrum

由于这对稀疏均匀子阵列满足互质的条件，其所对应的相位模糊具有一定的规律性。具体而言，对阵元数目为M的稀疏均匀子阵列，通过谱峰搜索可得到N个估计结果，从第k个信源得到的真实角度θk和相位模糊角度之间存在如式(5)所示关系

其中，D为非0整数。N个波达方向估计结果中除包含一个对应于真实波达方向的估计结果之外，还存在其他N-1个相位模糊角度；相应地，对于阵元数目为N的稀疏均匀子阵列，其相位模糊角度的规律性与上述结论类似。文献[37]指出，在两个稀疏均匀子阵列分别获得的波达方向估计结果中，有且仅有一个相同的结果，即真实的互质阵列波达方向估计结果。上述结论可利用质数的性质予以证明：假设除以外，还存在一个在两个子阵列分别获得的波达方向估计结果中是相同的，则阵元数目为M的子阵列满足关系为

其中，。类似地，对阵元数目为N的子阵列，存在关系DM=-(N-1),-(N-2),···,-1,1,···,N-2,N-1

其中，DN=-(M-1),-(M-2),···,-1,1,···,M-2,M-1，则DM/N=DN/M。由于M与N为互质整数，无法找到满足上述等价条件的参数对{DM,DN}，故不存在，为唯一的波达方向估计结果。在实际应用中，由于存在噪声等外部因素的干扰，在两个子阵所对应MUSIC空间谱中所对应的值并非一致；为此，可通过寻找两个空间谱中最为接近的两个峰值，并将其所对应的角度求平均以获得唯一的互质阵列波达方向估计结果。

上述互质子阵分解方法虽然克服了相位模糊问题并有效降低了软硬件开销，但是，DECOM算法作为传统MUSIC方法在互质阵列上的衍生与应用，最终的角度估计精度仍然取决于谱峰搜索的间距，且子阵列分解带来的互信息损失也会在一定程度上降低波达方向估计的效果；此外，由于该方法将互质阵列分解成两个子阵单独进行计算，可辨识的目标数与传统均匀阵列相比将减少至少1/2以上。基于上述互质子阵分解的技术思想，文献[38]提出了一种通过局部谱搜索代替全局谱搜索的方法，进一步降低了计算复杂度；与此同时，应用Root-MUSIC和ESPRIT等方法形成的闭式解可有效避免谱峰搜索过程带来的精度受限问题[38–40]；文献[41]提出的快速波达方向估计方法在保证自由度性能的前提下，进一步减少互质阵列的物理阵元个数，扩大了阵列孔径，提高了估计精度。此外，为了提升子阵分解方法的自由度性能，通过对子阵列空间谱进行联合计算，同时利用了两个子阵的自信息和互信息，可以有效解决互信息损失问题，从而实现子阵列分解技术框架下自由度无损的波达方向估计[42,43]。

互质子阵分解算法遵循将互质稀疏均匀子阵和传统均匀阵列波达方向估计方法相结合的思路，通过质数性质的应用实现波达方向的有效估计。得益于互质阵列的稀疏结构特性，该类方法在分辨率和计算复杂度方面优于传统采用均匀阵列的波达方向估计算法，实现方法简单、易操作，适用于目标数量有限且对估计精确度要求较高的应用场景。

3.2 基于虚拟阵列信号处理的互质阵列波达方向估计

虚拟阵列信号处理方法通过计算互质阵列差集数组(difference coarray)在虚拟域上形成一个增广虚拟阵列，并利用其2阶等价虚拟域信号的处理，实现面向互质阵列的有效波达方向估计。由于虚拟阵元个数大于物理阵元个数，基于虚拟阵列信号处理的方法在算法自由度性能方面有显著的提升。其中，虚拟域奈奎斯特匹配方法通过在虚拟域中引入传统用于均匀阵列的空间平滑和多重信号分类技术，在提升自由度的同时实现超分辨波达方向估计；基于稀疏恢复(sparse recovery)的方法通过对虚拟域统计量进行空间域过完备表示，并通过稀疏条件约束下的优化重建，实现自由度增加的波达方向估计；基于虚拟阵列协方差矩阵稀疏重建的方法在前述方法的基础上，对入射信号的波达方向、功率和信源数等重要参数实现全面而精确的估计。

3.2.1 虚拟域奈奎斯特匹配和稀疏恢复方法

文献[44]提出的虚拟域奈奎斯特匹配方法，通过推导增广虚拟均匀阵列结构和对应的等价虚拟域信号模型，引入空间平滑技术和虚拟域多重信号分类处理，得到超分辨的波达方向估计结果。相较于上述互质子阵列分解方法，该方法不需要对互质阵列进行分解，故估计结果不存在因稀疏子阵列而带来的相位模糊问题；同时，由于利用了对应于增广虚拟阵列的虚拟域信号处理，算法的自由度性能得到了显著的提升。

在该方法中，互质阵列 S通过差集数组计算的方式被推导至一个增广虚拟阵列 V，该虚拟阵列可表示为

为了克服非连续虚拟阵列对于传统奈奎斯特方法造成的信号模型失配问题，文献[44]采用包含2M+N-1个物理阵元的扩展互质阵列，该扩展互质阵列的差集数组可表示为

该数组中包含了一个虚拟阵元位置由-MNd到MNd的连续子集，意味着物理阵元个数为2M+N-1的扩展互质阵列可以获得2MN+1的自由度。根据式(2)和式(4)的定义，对于空间中K个来自θ=[θ1,θ2,···,θK]T方向的远场非相关窄带信号，得到互质阵列在t时刻的接收信号x(t)及协方差矩阵RS。通过向量化阵列接收信号的协方差矩阵RS，推导出实际接收信号x(t)与构造的虚拟阵列等价信号z之间的数学映射关系

其中，Ri为第i个虚拟子阵列所对应的协方差矩阵。最后，将传统多重信号分类方法应用于空间平滑后得到虚拟域协方差矩阵，通过在虚拟域匹配奈奎斯特方法实现精确的波达方向估计。在类似的框架之下，通过改用结合Root-MUSIC,ESPRIT等其他子空间类算法，可以避免获取角度结果时的谱峰搜索过程[45,46]。

虚拟域奈奎斯特匹配方法通过建立互质阵列接收信号1阶统计量和增广虚拟阵列2阶等价信号之间的关系，利用空间平滑方法得到增广虚拟阵列所对应的满秩协方差矩阵，并结合多重信号分类处理实现互质阵列超分辨波达方向估计，大幅度地提升了算法自由度。然而，在该方法中，空间平滑方法将导致虚拟阵列孔径的减小，并且非连续部分的虚拟阵元在平滑过程中会被忽略，增广虚拟阵列的信息没有得到充分利用。相对应地，基于稀疏恢复(sparse recovery)思想的虚拟域阵列信号稀疏重建(Sparse Signal Reconstruction,SSR)算法[47–52]在稀疏约束条件下，对过完备基表示的空间功率谱进行优化重建以实现波达方向的估计，因该方法不需要一个对应于均匀线性阵列的虚拟域信号模型，且不需要经过空间平滑步骤，即可得到优化的空间功率谱，故能够充分利用非均匀虚拟阵列的全部信息。在稀疏恢复思想的基础上，广义化互质阵列结构[53]和Toeplitz先验矩阵结构信息[54]的引入可进一步提升互质阵列波达方向估计的精确性和高效性。进一步地，基于稀疏恢复的方法成功实现了在平面互质阵列结构下的2维空间角度估计[55]，在应用上，稀疏恢复方法也被用于进行MIMO雷达的连续非相关目标定位检测[56]。

对应于用预定义空间网格点过完备表示的扩展互质阵列导引矩阵，对角矩阵包含预定义空间网格点中个波达方向上所对应的信号功率，为(2M+N-1)×(2M+N-1)维单位矩阵。从而，信号稀疏恢复方法转换为以下的优化问题

3.2.2 基于虚拟阵列协方差矩阵稀疏重建的互质阵列波达方向估计算法

前述的虚拟域奈奎斯特匹配和信号稀疏重建方法实现了信号源数目大于物理阵元数目条件下波达方向的有效估计，但上述方法生成的空间谱普遍存在额外的虚峰。由于真实信源的数目在大多数实际应用中是未知的，故虚峰的辨识较为困难，容易造成信源的辨识偏差进而影响波达方向估计的精确度。此外，基于子空间类方法所生成的伪空间谱无法实现各个信号源的功率估计。为了解决这些问题，文献[57,58]提出了基于虚拟阵列协方差矩阵稀疏重建的互质阵列波达方向估计算法，其思想是在虚拟域增广阵列模型的框架下，利用预定义网格点对虚拟阵列协方差矩阵中的波达方向进行过完备表示，并在虚拟域通过协方差矩阵稀疏重建的方式设计优化问题，最后实现信源个数、波达方向和信号功率等重要参数的精确估计。

与3.2.1小节所介绍的信号稀疏重建方法思路类似，文献[57]中引入包含个波达方向的过完备预定义网格点对互质阵列接收信号x(t)中的波达方向参数进行过完备表示。在虚拟域上，上述操作则等效于对式(11)所定义的增广虚拟阵列满秩协方差矩阵Rss进行过完备稀疏表示，得到对应的稀疏化虚拟阵列协方差矩阵可表示为

对应一个阵列孔径为MNd的虚拟均匀线性阵列导引矩阵，为(MN+1)×(MN+1)维单位矩阵，稀疏对角矩阵包含预定义空间网格点中个波达方向上对应的信号功率。

基于上述定义，虚拟阵列协方差矩阵稀疏重建优化问题的基本思想为最小化空间平滑矩阵Rss与其对应的过完备表示虚拟阵列协方差矩阵之间的拟合误差，从而寻得最优化表示的稀疏空间功率谱，该优化问题表示为

在此基础上，文献[58]设计了基于滑动窗口思路的信源枚举方法，对稀疏空间谱中存在的虚峰响应进行移除，以获得对应于个入射信号的波达方向估计。与此同时，以为先验信息，可将稀疏重建的框架作用于互质阵列接收信号的协方差矩阵，形成增强型的功率估计优化问题

基于虚拟阵列协方差矩阵稀疏重建的互质阵列波达方向估计算法在虚拟域信号处理的框架下实现了波达方向的精确估计，并大幅提升了算法的自由度性能；其次，通过信源枚举步骤排除了现有方法中存在的空间谱虚峰问题，有效避免了因虚峰扰动所造成的估计精度受限问题；同时，通过增强型功率估计优化问题设计，进一步保证了信源功率估计的准确性。图3利用最优子模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment,OSPA)准则[59]来对比前述算法与SSR[52]算法在信号源个数不确定情况下的波达方向估计性能，OSPA指数越低，表明估计结果越理想。仿真中设置一对互质线性子阵列分别包含2M=2×3=6和N=5个物理阵元，扩展互质阵列包含2M+N-1=10个物理阵元，假设空间中有12个均匀分布于–60°～60°方向的入射信号源，预定义空间网格点均匀分布于[–90,90°]，且采样间距0.1°。图3(a)表示采样快拍数设置为500条件下各算法OSPA与输入信噪比之间的性能对比，图3(b)表示信噪比设置为0 dB条件下各算法OSPA与采样快拍数之间的性能对比。从图3的对比结果可知，所提算法在不同信噪比(Signal Noise Ratio,SNR)和不同采样快拍数(snapshots)条件下的OSPA均低于SSR算法，且随信噪比和采样快拍数的增加呈现下降趋势；而SSR算法由于在空间谱中存在若干随机且不规则的虚峰，故OSPA较高，且在不同的采样快拍数和信噪比条件下性能类似。上述结果表明，基于虚拟阵列协方差矩阵稀疏重建的互质阵列波达方向估计算法在估计性能上具有显著的优越性。

图3 波达方向估计性能对比Fig.3 Comparison of DOA estimation performance

3.3 互质阵列波达方向估计算法的延伸发展

3.2节所述的两大类方法都是在虚拟域信号处理的框架下实现面向互质阵列的高效波达方向估计，在自由度性能方面表现出较大的优势。本节将在上述研究的基础上，分别从算法的高效性和估计的精确度等两方面介绍互质阵列波达方向估计算法的深入延伸研究。为了进一步提升算法的高效性，利用压缩感知技术对互质阵列接收信号进行压缩，并基于压缩信号进行处理，可在保留互质阵列性能优势的同时大幅降低计算复杂度；为了进一步提高算法的估计精度，利用无网格化方法可以实现波达方向估计参量的连续化表示，进而从根本上杜绝传统稀疏类方法中因过完备网格点所造成的估计精度受限问题。

3.3.1 基于压缩感知的低复杂度互质阵列波达方向估计算法

为了进一步降低波达方向估计算法的计算复杂度，压缩感知技术被应用到阵列信号处理算法中，通过对互质阵列接收信号中的冗余信息进行压缩，实现欠采样条件下的高效信号处理[60–64]。文献[64]提出采用一个随机压缩感知核Φ ∈CW×(M+N-1)对互质阵列接收信号x(t)∈C(M+N-1)×1进行降维处理，通过随机投影的方式将(M+N-1)×1维的互质阵列接收信号x(t)压缩成一个W×1维的压缩信号y(t)

其中，Φ中的元素可通过高斯分布、伯努利分布等随机产生，W <

压缩信号y(t)的理想协方差矩阵Ry为

利用协方差矩阵Ry计算Capon空间功率谱，可以得到式(19)的空间谱函数

其中，θ为谱峰搜索网格点上假定的波达方向，为压缩信号的采样协方差矩阵，压缩信号对应的W×1维导引向量ac(θ)表示为ac(θ)=Φa(θ)。进而，通过搜索Capon空间功率谱pCapon(θ)中最大的K个谱峰，即可得到波达方向角度估计值。

进一步地，为了保留互质阵列在自由度方面的优势，将压缩感知技术推广至虚拟域信号处理方法中，通过稀疏信号重建的方式实现自由度提升的波达方向估计。具体而言，将压缩信号的协方差矩阵进行向量化操作，以构造等价虚拟扩展阵列及其2阶信号统计量

上述算法通过引入压缩感知技术，通过降维压缩信号的Capon功率谱计算以及虚拟域信号稀疏重建，在大幅度降低计算复杂度的同时，分别实现了高分辨率和自由度增加的波达方向估计。此外，通过优化压缩感知信号的结构[65,66]，可以有效降低信号压缩过程造成的原始信息损失，例如，通过对压缩感知核的结构进行优化，使其元素基于一定的先验信息概率分布进行生成[66]，而不是采用随机生成的方式[64]，可以减少信号降维压缩过程中的信息损失，从而使算法具备更高的精确性和更低的计算复杂度。

3.3.2 基于虚拟域阵元内插的无网格化互质阵列波达方向估计算法

现有方法在估计精度性能上主要受以下两方面的因素限制：一是由于虚拟阵列的非均匀性所导致的信息损失；二是由于预定义空间网格点在稀疏过完备表示或谱峰搜索过程中所造成的固有估计误差。

为了避免信息损失问题，基于虚拟域信号稀疏重建的互质阵列波达方向估计算法对采样协方差矩阵向量化后得到的2阶等价虚拟信号进行了整体重建[52]，但是构造的大量重复虚拟阵元使得计算负担变重，且虚拟阵列本身的非均匀性将导致空间功率谱中出现不规则的虚峰响应。基于多频率的互质阵列波达方向估计算法利用等价频率填充差集数组中的缺失元素[67]，保证了在充分利用非均匀虚拟阵列提供的全部自由度基础上实现高精度波达方向估计。进一步地，基于核范数最小化的互质阵列波达方向估计算法通过利用矩阵填充准则恢复虚拟阵列协方差矩阵中孔洞位置所对应的缺失元素，且不需要引入自定义用户参数即可将非均匀虚拟阵列中所包含的全部信息用于波达方向估计[68]。文献[69]改进了用于矩阵填充的最小已知虚拟阵元个数。

另一方面，基于稀疏恢复的互质阵列波达方向估计算法通过预定义网格对波达方向进行过完备参数化表示，但是实际入射信号的波达方向不一定会正好落在这些预定义空间网格点上，从而导致基不匹配问题，进而影响波达方向的估计精度。尽管通过将预定义空间网格点密集化可以在一定程度上减小稀疏网格带来的匹配误差[70]，但是过高的网格密度将导致计算复杂度的指数型提升；文献[71]提出了一种利用凸优化方法进行线性频谱稀疏恢复的数学理论，并基于该理论建立起基于无网格化稀疏恢复的波达方向估计算法框架[72]；文献[73,74]总结了当前几种有效的离网型(off-grid)和无网格化(gridless)波达方向估计方法，例如基于稀疏贝叶斯学习的离网型波达方向估计[75]，基于稀疏恢复思想的互质阵列离网型2维波达方向估计[76]和结合原子范数最小化方法的无网格化稀疏恢复波达方向估计算法[77]。

为了同时解决信息损失和基不匹配问题，文献[78–81]结合上述虚拟阵列填充和无网格化方法的思路，提出了基于内插虚拟阵列协方差矩阵无网格化重建的互质阵列波达方向估计算法。该方法在虚拟域扩展阵列的框架下，通过引入阵元内插的思想对增广非均匀虚拟阵列中的非连续部分进行填充，将非均匀虚拟阵列转化为一个虚拟均匀线性阵列Vc，如图4所示。内插虚拟阵列 Vc既包含了非均匀虚拟阵列中全部的虚拟阵元，对应的等价信号又满足奈奎斯特采样速率的要求。将内插虚拟阵列的2阶等价信号表示为通过设计优化问题恢复中各内插虚拟阵元上的未知信号，以实现波达方向的有效估计。

在内插虚拟阵列信号模型的基础上，原子范数的引入能够实现波达方向这一参数的连续化表示，进而避免传统稀疏方法带来的基不匹配问题。为了实现虚拟域信号的原子范数表示，本文首先将理想条件下内插虚拟阵列2阶等价接收信号建模为

随后，为了对波达方向进行连续化参数表示，定义ZV的原子集合为

其中，e(θ)=[1,e-jπsin(θ),···,e-jπ(E-1)sin(θ)]T为E个虚拟子阵列和参考虚拟阵列之间的相位偏移。相应地，将ZV的原子范数表示为

图4 互质阵列及其对应的各种虚拟域阵列结构示意图Fig.4 Illustration of the coprime array and its corresponding virtual array structures

其中，conv(Ω)表示原子集合Ω的凸包(Convex hull)。式(23)定义的多采样虚拟信号ZV的原子范数提供了一个2阶等价虚拟信号的无网格化表示模型，实现了波达方向这一参数的连续化表示。进一步地，文献[79]根据其等价半正定规划表现形式及其对应的推论揭示了内插虚拟阵列协方差矩阵与2阶等价虚拟信号之间的关系，由此通过原子范数的最小化实现了内插虚拟阵列协方差矩阵T(l)的无网格化重建。具体而言，T(l)的首列向量l与首个虚拟阵列对应的2阶等价虚拟信号相同，其原子范数可表示为

基于虚拟均匀线性阵列理想协方差矩阵具有的低秩特性和厄米特Toeplitz结构[82–84]，该方法将对应于非均匀虚拟阵列的2阶相关统计量作为参考值，结合矩阵重建的思想，构建了基于原子范数最小化的内插虚拟阵列协方差矩阵Toeplitz化重建的优化问题，即通过最小化式(24)中向量l的原子范数，重建内插虚拟阵列协方差矩阵T(l)，具体表示为

基于内插虚拟阵列协方差矩阵无网格化重建的互质阵列波达方向估计算法具备以下优点：一是算法中重建的内插均匀虚拟阵列包含了非均匀虚拟阵列的全部信号信息，从而能在充分利用互质阵列特性的基础上对波达方向作出高精度估计；二是重建的内插虚拟阵列协方差矩阵满足半正定厄米特Toeplitz结构，该结构与均匀线性阵列接收信号所对应的理想协方差矩阵一致；三是算法采用了虚拟域原子范数的定义和波达方向参数连续化表示方法，从而能够无网格化地重建内插虚拟阵列协方差矩阵，有效避免了基不匹配问题。图5采用均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)作为衡量波达方向估计性能的参数，通过仿真对比结果以说明上述结论，相对比的算法包括：基于协方差矩阵稀疏重建的互质阵列波达方向估计算法[57,58](Covariance Matrix Sparse Reconstruction,CMSR)，基于稀疏信号重建的互质阵列波达方向估计算法[52](Sparse Signal Reconstruction,SSR)，克拉美罗界(Cramer-Rao Bound,CRB)也同时在仿真图中给出。仿真设置中，构成互质阵列的一对互质整数选取为M=3和N=5，单个信源入射角度由随机方式生成，当以信噪比为变量进行均方根误差对比时，采样快拍数设置为500，当以采样快拍数作为变量进行均方根误差对比时，信噪比固定为20 dB。从图5所示对比结果可知，在单个入射信号源情况下，CMSR算法和SSR的RMSE在信噪比大于10 dB的情况下趋向平缓，相比之下，所提基于内插虚拟阵列协方差矩阵无网格化重建算法由于在波达方向估计过程中无需使用预定义的空间网格点，故波达方向估计性能不受空间网格点间距的限制，RMSE曲线随着信噪比的增加而不断降低，且与CRB的趋势保持一致。在算法复杂度方面，由图6的对比结果可知，基于内插虚拟阵列协方差矩阵无网格化重建算法在不同采样间隔设置下均保持相对稳定，且计算复杂度低于其他对比算法。

图5 单个随机信号源情况下的波达方向估计性能对比Fig.5 Comparison of DOA estimation performance under the single random source scenario

图6 算法复杂度性能对比Fig.6 Comparison of algorithm complexity

4 互质阵列自适应波束成形

波束成形通过抑制干扰信号并增强期望信号(Signal of Interest,SOI)，以实现信号的定向传送，从而避免不必要的开销，保证整体系统效率。作为阵列信号处理领域的又一个基本问题，鲁棒性和高效性是波束成形算法设计中的关键考量因素。其中，鲁棒性要求在外部环境扰动、阵列结构失准、信号模型失配等非理想条件下保证波束成形器输出性能的稳定，而高效性则要求算法具备快速精确的处理能力，并同时能够节省系统的软硬件成本开销。因此，设计兼备鲁棒性和高效性的波束成形算法，对于当前蓬勃发展的雷达技术应用具有重大的意义和应用价值。

4.1 互质阵列波束成形设计准则

均匀阵列是传统波束成形算法中最为常用的阵列结构，由于波束主瓣与阵列孔径成反比，奈奎斯特采样定理的限制使得传统算法需要通过增加物理阵元数目来实现波束的精尖化，进而导致了硬件成本和计算复杂度的大幅增加。相对地，互质阵列的稀疏阵列架构、大孔径特性和高自由度等特性能够在相同的开销下获得更好的波束控制效果，从而实现更加高效的能量集中、更加精确的波束对准和更加强劲的干扰抑制能力。因此，采用互质阵列进行波束成形在鲁棒性和高效性方面均具有较大潜在优势。

与前述互质阵列波达方向估计问题相比，互质阵列波束成形问题的设计准则与其在原理上存在本质区别。具体而言，由于波达方向估计属于参数估计问题，故互质阵列波达方向估计可直接通过虚拟域信号处理以实现自由度的增加。值得注意的是，虽然2阶等价虚拟阵列信号z与1阶阵列接收信号x(t)在信号建模上存在类似的结构，但式(2)中的1阶统计量包含信号波形s(t)，而式(10)中的虚拟域2阶统计量则包含信号功率p。由于波束成形的原理是阵列接收信号的空域滤波，即对物理阵元接收信号的加权求和，故互质阵列波束成形无法直接在虚拟域中完成，其波束成形器的权重设计以及信号的权值累加必须在实际的物理阵元上实现。因此，互质阵列波束成形算法在设计准则上与前述互质阵列波达方向估计存在本质区别，如何有效利用包括虚拟域信号处理在内的一系列互质阵列优势特性，并同时克服因其物理阵列的非均匀性所带来的一系列难题，是互质阵列自适应波束成形算法研究的核心问题。

相较于近年来被广泛研究的互质阵列波达方向估计问题，互质阵列自适应波束成形的研究仍处于初步阶段，尚有较多富有前景的研究课题有待进一步深入发掘。在介绍具体的互质阵列波束成形算法之前，本文首先回顾了传统的波束成形技术，以说明下文所采用波束成形器设计思路的原因。最小方差无失真响应(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)准则[5]是理想化波束成形设计的经典准则之一，其目标是最大化阵列输出的信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)，并同时保证期望信号分量的无畸变通过。但是，由于理想的干扰加噪声协方差矩阵及期望信号导引向量在实际应用中未知，波束成形算法的性能易受SOI方向失配、阵列校准误差、以及有限观测样本下采样协方差矩阵估计误差等问题带来的性能衰减。为了缓解这一问题，一系列鲁棒自适应波束成形算法被提出。文献[85]总结了两类典型鲁棒自适应波束成形算法设计，它们分别通过对采样协方差矩阵和假定的期望信号导引向量进行统计信号处理和优化，以实现输出SINR性能的提升。但是，由于干扰加噪声协方差矩阵中的期望信号分量未被有效消除，信号自相消现象将随SINR的增大而逐步凸显。子空间方法[86,87]和对角加载方法[88]可以提高导向矢量失配情况下MVDR波束成形的稳健性，但是基于子空间的波束成形算法在低信噪比或大信干噪比的情况下效果较差，而对角加载方法的缺点是最优对角加载因子难以确定。此外，贝叶斯方法[89]和基于最坏情况性能优化算法[90]也都没有从本质上解决信号的自相消问题。

为了解决上述经典算法中存在的问题，文献[91]提出了一种基于干扰加噪声协方差矩阵重建和期望信号导引向量估计的鲁棒自适应波束成形算法，首次实现了逼近理论值的输出SINR性能。该算法的核心思想是通过干扰加噪声协方差矩阵的重建来移除其中的期望信号分量，并同时设计了一个2次约束2次规划问题以优化期望信号导引向量，从而大幅度提升了自适应波束成形的鲁棒性和输出SINR性能。鉴于干扰加噪声协方差矩阵重建和期望信号导引向量估计方法的性能优势，互质阵列波束成形拟采用该技术框架进行面向非均匀物理阵元的自适应波束成形权重设计。

4.2 基于协方差矩阵和导引向量重建的互质阵列自适应波束成形

基于前述自适应波束成形设计准则，文献[92,93]在文献[91]的思想上，充分考虑了互质阵列的结构特征和信号建模特性，利用互质阵列的大孔径优势，提出了基于干扰加噪声协方差矩阵和期望信号导引向量重建的互质阵列自适应波束成形算法。其中，文献[93]给出了互质阵列自适应波束成形算法设计的完整框架。具体而言，对于一个包含M+N-1个阵元的互质阵列，假定有K+1个远场窄带信号入射至互质阵列，其中期望信号的角度方向为θs，其余K个来自{θk,k=1,2,···,K}方向的信号为干扰信号，w ∈CM+N-1为波束成形的权重向量。根据MVDR准则，波束成形权重向量可通过求解如下优化问题获得

上述优化问题中权重向量的最优解为

其中，a(θs)是对应于期望信号θs的导引向量，Ri+n为干扰加噪声协方差矩阵，可以表示为

其中，a(θk)为对应各干扰信号入射方向θk的导引向量。

由式(27)可知，基于MVDR准则的波束成形器权重向量是由期望信号导引向量a(θs)和干扰加噪声协方差矩阵Ri+n共同决定的，因此所提互质阵列波束成形算法的思路是充分利用互质阵列的特性以精确重建a(θs)和Ri+n这两个组成波束成形器的核心参量，从而使所设计的互质阵列波束成形权重向量逼近理论值考虑到期望信号入射角度是期望信号导引向量重建的核心参数，且由式(28)可知各干扰信号的入射角度为干扰加噪声协方差矩阵重建的必要参数，互质阵列自适应波束成形算法将首先对上述参数进行估计，以作为波束成形权重向量重建的先验信息。

为了精确地获得期望信号和各干扰信号的波达方向估计结果，文献[93]采用3.1小节介绍的互质子阵分解方法，将互质阵列分解成包含M和N个阵元的稀疏均匀子阵列，并分别对子阵列的MUSIC空间谱函数进行谱峰搜索，得到包含相位模糊的波达方向估计结果，可表示为：。为了去除相位模糊，期望信号的波达方向可通过选取子阵估计结果中最接近的一组候选估计值实现，即

其中，φ为期望信号的角度范围。期望信号的波达方向估计值由式(29)求得的最优值取平均获得

类似地，干扰信号的波达方向可通过求解式(31)得到

由式(28)关于干扰加噪声协方差矩阵的定义可知，除了干扰信号的波达方向之外，其对应的信号功率k=1,2,···,以及噪声功率也是实现该矩阵重建的必要参数，而前述所采用的子阵分解方法得到的MUSIC空间伪谱在各入射信号方向上的响应值无法表征功率。为此，文献[93]将前述得到的期望信号和干扰信号波达方向估计值作为先验信息，设计了基于互质稀疏子阵协方差矩阵联合优化问题以进行功率估计，其核心思想是考虑两个互质稀疏子阵所对应的采样协方差矩阵中所包含的信号功率信息一致，并构造如下不等式约束最小二乘问题

其中，λmin(·)表示矩阵的最小特征值。通过式(32)求得优化变量Γ的最优值包含了期望信号和个干扰信号的功率估计值。

其中，d1,d2,···,dM+N-1表示互质阵列中各物理阵元的实际位置，d1=0。同时，根据式(28)的定义，利用求得的干扰信号波达方向估计值和功率估计值，以及噪声功率估计值，干扰加噪声协方差矩阵可重建为

最后，结合式(27)关于最优权重向量的定义和上述重建的参量，互质阵列波束成形的权重向量可表示为

上述互质阵列波束成形算法的设计方案充分利用了互质阵列的大孔径特性，通过高精度的参数估计实现了参量的精确重建；与此同时，重建思想的引入有效克服了信号自相消问题，避免了输出SINR在高信噪比情况下的性能衰减；其次，互质稀疏子阵协方差矩阵联合优化问题可估计所有先验波达方向所对应的功率，以分辨真实信号源所对应的波达方向估计值，故所提算法无需将信号源个数作为先验信息，对于实际应用中信号源个数未知情形具有明显的优势；再者，互质阵列的应用使得所提波束成形算法在硬件开销和计算复杂度方面均具有优于传统基于均匀阵列的波束成形算法。因此，上述互质阵列自适应波束成形算法兼备鲁棒性和高效性。

图7给出了上述互质阵列自适应波束成形算法与传统的采样矩阵求逆(Sample Matrix Inversion,SMI)波束成形算法[94]、对角加载波束成形算法[88]、基于子空间的波束成形算法[87]、基于最坏情况性能优化的波束成形算法[90]和基于协方差矩阵重建的波束成形算法[91]在输出SINR特性上的性能对比。在图7中，这些算法分别采用“PROPOSED”,“SMI”,”DLSMI”,“EIGENSPACE”,“WORST-CASE”和“RECONSTRUCTION”作为图例说明。在实验中，互质参数M和N选用M=5,N=6；当以期望信号的输入信噪比为变量进行输出SINR对比时，采样快拍数设置为30；当以采样快拍数为变量进行输出SINR对比时，期望信号的输入信噪比设置为20 dB。

图7 观测方向存在随机误差情况下的输出性能对比Fig.7 Comparison of output SINR performance under the random signal look direction mismatch scenario

由图7(a)所示结果可以看出，随着输入信噪比的增加，SMI波束成形算法、对角加载波束成形算法以及基于子空间的波束成形算法的输出SINR曲线随着信噪比的增加而趋向平缓。基于最坏情况性能优化的波束成形算法尽管在信噪比较高的情况下性能优于其他几类传统算法，但性能仍受信号自相消现象的限制。相较之下，基于重建思想的波束成形算法由于移除了干扰加噪声协方差矩阵中的期望信号分量，从而有效地克服了信号自相消导致的输出SINR性能衰减问题，并且具有与最优SINR趋势一致的输出SINR性能，且所提互质阵列自适应波束成形算法性能优于传统采用均匀阵列的重建思想波束成形算法。从图7(b)所示的对比结果可知，互质阵列自适应波束成形算法在输出SINR性能上均优于其余对比算法。

基于上述算法框架，文献[95]在保证互质阵列输出SINR性能的条件下，通过结合虚拟域信号处理实现了算法自由度的进一步提升；除此之外，考虑到波束成形算法在实际应用中的复杂度，压缩感知等理论也被应用于自适应波束成形方法[96]中，例如基于3.1.1节的压缩感知模型与MVDR准则的互质阵列波束成形算法，在虚拟域压缩信号模型上实现了高效的波束成形设计[97]，相比传统波束成形技术大幅降低了计算复杂度。

5 结束语

阵列信号处理是雷达领域各类应用中的核心技术之一，确保了雷达在不同体制、不同场景中实现目标检测、定位、追踪等功能。近几十年来，传统阵列信号处理算法的发展趋近成熟，为雷达领域提供了大量高效的算法模型。然而，随着大规模检测和超分辨定位等更高需求的提出，传统均匀阵列带来的性能受限问题开始凸显，稀疏非均匀阵列的应用开始受到关注。其中，互质阵列由于其稀疏结构带来的优越特性，能为基于互质阵列结构的算法带来在自由度、分辨率及复杂度等性能上的显著优势，以突破传统均匀阵列的技术瓶颈。为此，本文总结了大量基于互质阵列结构的阵列信号处理算法，主要包含波达方向估计和波束成形等两大类方向。

在互质阵列波达方向估计方面，本文总结了基于互质子阵分解的方法和基于虚拟阵列信号处理的方法。其中，互质子阵分解方法通过子空间类方法的引入和互质稀疏子阵相位模糊规律性的探索，对互质稀疏子阵的估计结果进行分辨后得到唯一有效的波达方向估计结果，在有效利用大阵列孔径带来的高分辨率的同时，具有操作简便，估计准确度高等优势；而基于虚拟阵列信号处理的方法则通过构造增广虚拟阵列的2阶等价虚拟信号，在虚拟域上进行信号处理以实现波达方向估计，能够突破可分辨信号源个数受限于物理阵元数的瓶颈，在自由度性能方面具有明显的优势。在虚拟阵列信号处理的框架下，主要介绍了奈奎斯特匹配、信号稀疏恢复、以及基于虚拟域协方差矩阵稀疏重建等3类代表性方法。其中基于虚拟域奈奎斯特匹配的方法将传统采用均匀阵列的波达方向估计的思路扩展到了虚拟域，通过建立虚拟域扩展阵列信号与原始信号统计量之间的类比关系，实现了传统奈奎斯特信号处理方法在虚拟域中的应用；基于稀疏恢复的方法则在虚拟域中引入压缩感知的思想，通过重建虚拟阵列等价信号统计量直接获得波达方向估计结果；与此同时，基于虚拟域协方差矩阵稀疏重建的互质阵列波达方向算法在保证自由度提升的条件下，能够同时实现信号源波达方向及其功率的精确估计。上述算法充分利用了互质阵列的优势，实现了波达方向估计算法在自由度、分辨率、软硬件开销等层面的性能提升。进一步地，本文总结了两种优化算法思路，一种是针对计算复杂度优化的基于压缩感知技术的互质阵列波达方向估计算法，通过引入压缩感知核对互质阵列接收信号进行核心信息提取与处理，在保证优势性能的同时大幅降低了计算复杂度；另一种是基于内插虚拟阵列协方差矩阵无网格化重建的互质阵列波达方向估计算法，它有效解决了由于增广虚拟阵列非连续所导致的虚拟域信号处理信息损失问题，以及稀疏恢复类方法中因预定义网格点不够密而导致的估计精度受限问题。

在互质阵列波束成形方面，本文回顾了波束成形技术的研究背景与发展历程，分析了互质阵列波达方向估计与互质阵列波束成形问题在作用原理和统计量建模层面的本质区别，并构建了互质阵列波束成形方法的设计准则。基于上述结论，本文重点介绍了基于干扰加噪声协方差矩阵和期望信号导引向量重建的互质阵列波束成形算法。该算法通过剖析MVDR准则获得用于重建最优权重向量的核心参数，即干扰源来波方向信息与信号源功率信息，并分别通过基于子阵分解的互质阵列波达方向估计、基于互质稀疏子阵协方差矩阵联合优化的功率估计实现上述核心参数的高效估计。其中，重建思想的引入消除了干扰加噪声协方差矩阵中的期望信号分量，能够有效克服信号的自相消问题；而信源功率的估计使得传统波达方向估计问题中信源个数这一先验条件得以去除；与此同时，面向非均匀互质阵列的权重设计有效利用了互质阵列的结构特性，最终实现了高效性和鲁棒性兼备的高性能波束成形。

除波达方向估计和自适应波束成形这两类问题之外，互质阵列信号处理仍有较多值得研究的话题及应用，例如：互质阵列结构优化设计，非理想场景下的鲁棒性算法，以及互质MIMO雷达等。在互质阵列结构优化方面，广义化的互质阵列结构设计[98,99]，互质采样技术框架下的优化阵列设计方案[100]，以及考虑保证相同虚拟阵列孔径和自由度的精简型互质阵列(thinned coprime array)方案[101]，都在互质采样的框架下进行改进，以优化互质阵列的稀疏结构，从而达到算法在自由度、计算复杂度等性能指标上的强化。与此同时，由于实际应用的需要，如何在非理想场景下保证互质阵列参数估计方法的有效性，是当前亟需解决的问题之一，这其中包含了克服阵列误差影响[102]和排除未知噪声干扰[103]等方面。除此之外，由于互质阵列在结构特性上的优越性能，采用互质阵列结构的互质MIMO雷达[104,105]在空间信号分辨能力、识别精确度性能上都有大幅提升，面向互质MIMO雷达相关的结构设计和参数估计算法等方面的研究正在受到关注。针对互质MIMO雷达的结构设计，当前的研究包括广义化的互质MIMO雷达模型[106]，以及在互质采样技术的框架下对发射和接收端进行优化的MIMO雷达阵列结构[107]等。面向互质MIMO雷达的算法研究不仅有结合硬件加速的参数估计方法[108–111]，也有大量高精度的测向算法研究[112–116]。因此，如何将互质阵列信号处理方法在雷达领域深入推广应用，不断优化相关核心技术的算法性能并增强其高效性和实用性，是未来阵列信号处理领域的重要课题，也是推动雷达技术发展的核心工具之一。