吴凯，梁勇，蔡永宁

(济南市勘察测绘研究院，山东 济南 250013)

1 引 言

点群目标是空间分布分析的重要对象。在GIS中，单个的点状目标，只有点位的坐标和属性信息，其形状特征可以被忽略不考虑，而整个点群目标则可能具有某些规律的分布特征[1]。空间分布分析过程不考虑单个点状目标的大小、形状，主要关心的是群体分布所隐含的空间结构化信息。对点群目标进行研究分析，目的在于提取其空间分布的相关规律，根据空间域内包容分布对象的能力，顾及相互间的影响作用确定最佳设施配置[2]。

在空间点群研究中使用地图代数距离变换(点群聚类)方法，可将距离与空间度量的尺度联系起来；可得到各种广义空间距离概念的识别和生成方法；易于推广到多种空间，而非仅限于基于数学平面的研究。点群空间分布轴线，在数学上可抽象为点群数据的线性空间分布特征，传统点群分布轴线的计算，无法处理有迂回曲线，无法挖掘椭球面上的点群分布轴线，现将距离变换的思想应用到点群空间分布轴线提取的研究中，对于点群数据复杂的线性条带分布(是弯曲或迂回曲线类型)，应用基于距离变换的点群密度研究方法，提取分布轴线。

2 原理

2.1 距离变换及其原理

距离在空间分析中是一个非常广义的概念。它不只是单一地代表两点间的直线长度，而是被赋予了空间概念下更加丰富的内容。距离变换是将包含实体特征和空间背景的二值图像转变成距离图像，即对二值图像，将前景中的像素值转化为该点到达最近背景点的距离。在变换后的距离图像中，每一个像素值表示该像素离其最近的一个实体像素的距离，具体表现为每个实体的距离波不断地向外空间扩张，直到与邻近实体的距离波相遇。

距离变换是计算并标识空间点(对参照体)距离的变换或过程。距离变换是在确定特性的尺度下对全空间的度量。外距变换度量实体图形外的空间，内距变换度量实体图形本身空间。它是对空间实体量度性质的总体和全局的把握[2]。

距离变换特性有：

(1)各空间点距离数值上的唯一性。

各个空间点到唯一实体点的距离的平方是正确的；

各个空间点到唯一实体点的距离正确且唯一的；

当空间中有N个实体点时，任一个空间点将在变换中得到它与最近实体点的距离(平方)；而当有2个、3个或是若干个实体点到该空间点均为这个最小距离时，则该点即成为距此2点、3点或是若干点的等距点；

(2)平移不变性

指原点群中的点，由于它们是由实体以及相互之间关系决定的，理论上与坐标系关系不大。平移是不变的，具有平移不变性。

(3)局部更动性

当增加或减少新的实体点集时，只与更动“周围”的实体及其空间有关，这个“周围”是：对更动点集的点位产生更动距离数值的实体以及面向更动点集一方的空间，这是距离变换的动态特性。

2.2 点群的分布轴线与离散度

空间分布轴线是点群重要的分布特征信息，在地理空间中，对点群(如城市群、地震点群)提取其空间分布轴线，尤其在城市群研究中，通过提取的分布轴线研究其特征区域带，对未来的经济建设布局和社会发展有着非常重要的决策参考价值[3]。

离散点群的空间分布趋势或走向可以用点群空间分布轴线来表示。分布轴线是一条拟合的直线，可以用来描述离散点群的总体走向趋势[4]。对于离散点群，可以拟合一条直线L(如图1所示)或曲线，点群相对于L的距离反映了离散点群在点群走向上的离散程度，而L的走向则描述了点群的总体走向。

图1 点群空间分布轴线

分布轴线的确定与点群相对于轴线的离散程度有关，点群相对于轴线的离散程度可以用三种不同的距离来度量：垂直距离ev、水平距离eh、直交距离eo。

离散度，在点群分布特征研究中，是对分布中心和分布轴线的补充，反映分布对象聚集程度的重要的空间分布参数。当不同的空间点群具有相同或近似的分布中心和空间分布密度的情况下，可以用不同的离散度来反映点群的空间分布特性，进行补充说明。

设点的平面直角坐标为(xi，yi)，在点群分布轴线的研究中，直线方程表示如图2所示：

图2 分布轴线为直线

但在复杂的实际情况中，一般使用曲线形式拟合迂回型点群分布。通常采用一般二次曲线形式。二次曲线是一种非常重要的平面曲线，在平面直角坐标系下，由式二元二次方程所表示的曲线：

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

(1)

其中二次项系数a11、a12和a22不全为零。二次曲线中除了椭圆(包括圆)、抛物线和双曲线外，还有其他的曲线。在此以抛物线拟合点群为例进行说明。

在曲线拟合点群方法[5]中，点的平面直角坐标为(xi，yi)，其中pi为属性值，抛物线方程设为：y=ax2+bx+c，属性加权的残差平方和表示为：

(2)

表达式中的分母∑pi为常数，对方程的参数估计没有影响，因此，通过表达式(3)来计算曲线方程的参数a，b，c：

(3)

使S取最小满足残差最小二乘，令

(4)

即可得：

(5)

解此方程组即可得到拟合分布轴线的抛物线方程。一般二次曲线对点群进行拟合方法与此相同，通过满足残差最小二乘来计算方程参数。

3 迂回型点群空间分布轴线提取

3.1 方法分析

对迂回型点群，首先生成点群分布密度图，对点群密度图提取密度值大于0的边界区域，运用距离变换的方法生成该边界区域的中轴线；对点群密度图生成等值线，得到等密度线分布图，提取将所有点包含的最小密度线，对该距离变换线运用距离变换思想生成中轴线。

在对包含所有点的最小密度线生成的中轴线基础上，运用最深线提取原理，提取点群分布轴线，其基本思路为：以最小密度线生成的中轴线为基线，作垂直于该中轴线的等间距的划分线，对每一条划分线在密度图上生成剖面线，在剖面图中的最大密度值处取点，依次取所有划分线在密度图上经过位置的最大值点，将所有最大值点进行连线即可得到点群的分布轴线，该方法能更好地描述点群分布，相对于最小密度线的中轴线，这种方法会偏向于点群集聚分布的地方，在该曲线型上能够满足所有点的偏差量最小二乘原则。

统计点群相对于点群分布轴线的离散度，可以得到点群相对于分布轴线的偏差量，即点群的离散信息；通过比较不用方法所得轴线偏差量，可以对不同方法所得分布轴线进行评价。

具体的操作流程如图3所示。

图3 迂回型点群分布轴线提取流程

3.2 实验分析

首先对空间点群数据求取分布密度图，在此基础上对点群密度图提取密度值大于0的边界区域以及包含所有点的最小密度等值线，运用距离变换思想分别生成大于0边界区域的中轴线、最小密度等值线区域的中轴线。实验结果如图4所示。

图4 区域中轴线提取

图4(c)中，外围大区域确定的为密度值大于0边界区域；内围小区域为包含所有点的最小等密度线区域，应用距离变换对两种边界区域提取中间线作为点群的拟合分布轴线分别如图4(d)和(e)，分布轴线1为大于0边界区域的中轴线；分布轴线2为最小密度等值线区域的中轴线。

用最深线原理提取点群分布的轴线，即提密度最大值分布的轴线，如图5所示。以最小密度线生成的中轴线(图4(e)分布轴线2)为基线，作垂直于该中轴线的等间距的划分线(图5(a))，对每一条划分线在密度图上生成剖面线，在剖面图中的最大密度值处取点，依次取所有划分线在密度图上经过位置的最大值点(图5(b))，将所有最大值点进行连线即可得到点群的分布轴线(图5(c)分布轴线3)。

图5 密度最大值分布轴线提取

对3种不同方法得到的分布轴线进行距离变换，如图6所示，得到其空间等距离线的示例图。

图6 不同分布轴线的距离变换图

读取点群在点群分布轴线距离图上的值，即点群相对于分布轴线的偏差量，便可统计点群相对于点群分布轴线的离散度信息。本文该试验中选取点数较多，不对每个点的离散度进行一一显示，仅对所有点相对于不同分布轴线的离差和与离差平方和进行统计分析。统计结果如表1所示。

不同分布轴线离散度对比 表1

通过对点群与不用方法所得分布轴线偏差量的对比分析，可以看出：由密度值大于0的边界区域所得的中轴线，作为点群分布轴线，其偏差量最大；由包含所有点的最小等密度线所确定的中轴线，作为点群分布轴线，其偏差量适中，效果较好；由最深线原理方法生成的分布轴线偏差量最小，但因为划分线不够细密，所得轴线不够光滑，提取的精度与线的划分线加密间距有关。运用此方法，可以通过对划分线进行加密，来得到精度较高的分布轴线。

4 在地震带识别中的应用

对实验地震点群生成密度分布图，运用热点分析原理，提取热点区域，由热点引导生成分布轴线。对分布轴线作一定范围的缓冲区，来与实际地震带比较，分析该方法在地震带识别中的应用。

4.1 实验目标区域及地震数据

将距离变换思想方法应用到地震带识别实例中，本文对地球系统科学数据共享网中的近2000年来中国地震目录集成数据[6，7]进行抽取，选取部分地震数据进行研究，因数据量较大，仅选取时间为1980年～2000年、震级大于3级、中国华北地区(34°～42°N，109°～118°E区域范围)的地震点数据，共684条记录。地震点实验数据如图7所示。

图7 地震点实验数据

4.2 实验地震点密度图生成

基于距离变换思想生成的空间点群分布的密度图，对实验地震点群生成密度分布图如图8所示。

图8 地震点数据分布密度图

距离变换方法生成的点群密度图，因没有固定距离步长滑动问题，选取合理的影响范围，生成的密度图中的密集和稀疏区域间的过渡就会比较平滑，不会出现大量黑斑情况。数学形态学方法中，落入圆内的点数设定对应像素点的灰度值，对两个像素点而言，灰度值相同，落入搜索圆内的点数目相等，但没有考虑同搜索圆内点与点分布的差别，没有体现点与点距离不同而造成的差异；而且分布密集区域内可能有大量由低密度而产生的洞或黑斑；该方法使用受滑动步长的限制，密集和稀疏区域间的过渡通常也大都是不平滑的。

4.3 热点引导生成分布轴线

首先对实验点群数据生成点群分布密度图，由于实际地震点数据的聚集情况不同，密度值差异明显。根据研究需要确定等值线的间距，生成密度等值线。本文研究中生成密度图的灰度值为0～88.66，为方便显示，选取间距为5生成密度等值线。结果如图9所示。

图9 密度等值线

对区域内的不同数值的等密度线进行统计，生成如图10所示的等密度线数值与个数的变化关系示意图，其中纵坐标N为不含重叠区的等值线个数，横坐标H为等密度线数值。由图10，可以根据确定不同的等密度线数值，提取相应不同个数的热点区域。

图10 等密度线个数统计

对密度图生成等值线，间距根据研究需要可进行调整。通过对等值线选取的控制，获取不同的热点区域(如图11(a)所示)，然后由获取的热点引导来获取其分布的大致轴线(如图11(b)所示)。

图11热点引导分布轴线生成示意图

4.4 与实际地震带进行对比

对有热点引导获取的分布轴线作缓冲区(11(d)所示)，即可识别出研究区域可能的地震带位置。集合地震专家划分的华北地区的地震带[8，9](郯庐地震带、汾渭地震带、内蒙古地震带、燕山地震带、京津渤地震带、华北平原地震带)进行比较，示意图如图12所示。

图12结果分析图

由图12可知，仅对比研究区内的地震带识别情况，内蒙古地震带、汾渭地震带、华北平原地震带与热点引导生成分布轴线的缓冲区结果较相近，所生成结果与燕山地震带位置有偏差。专家在划分地震带时会考虑地震震级的大小，本文则主要是在距离尺度上研究地震的分布密度，并由热点引导求取分布轴线，来识别地震带分布。热点引导生成分布轴线的缓冲区较好地表达了地震点的分布状况，研究区684条地震记录中有538个点落入作为识别地震带的缓冲区内，较好地吻合了地震带的特征。

对密度图生成等值线，间距调整到较小时，可以获取更多细节特征。图13为间距为1时用该方法获得的热点，及由热点引导得到的分布轴线，以该分布轴线相应的缓冲区作为识别的地震带，能识别出小型地震带的分布位置。

图13等值线间距为1时所得热点及分布轴线

5 结 语

点群的空间分布形态具有多样性，不同的点群具有不同的空间分布形态。通过分析其在空间中的集中趋势可以获取点群的集聚特征信息。点群空间分布轴线是一条拟合的直线或曲线，可以描述离散点群的总体走向。将距离变换的思想应用到迂回型点群空间分布轴线提取的研究中，针对点群分布的特点，获取点群的分布轴线。在地理空间中，对实际点群，如迂回型或更加复杂的点群提取分布轴线，并结合轴线进一步研究其特征分布区域，对城市建设的发展有着重要的参考意义和价值，这也是需要进一步研究的重点。