浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学 (邮编：312050)

数学家哈尔莫斯说过“问题是数学的心脏”．对问题进行研究是教师的一项基本功．通过研究，挖掘其隐含的问题的本质，获得丰富的教学资源．这样做，不仅能提高教师自身的专业素养，还有利于开阔学生的思路，培养学生的创新能力．现以2019年5月柯桥区中考适应性九年级数学的一道填空题为例，对其解法方法进行探究，愿与大家共同分享．

1 试题呈现

图1

本题源于2018年山东省滨州市的一道中考填空题，此题虽内容平实、条件简洁，但内涵深刻，学生深感望“题”兴叹．据此，笔者细研此题，发现此题切入点多，方法多样，给学生留有较大的思维空间，可以呈现出不同的解题方法．现把此题的几种常规解题思路整理成文，以期待同行的指正．

2 思路分析

思路1 注意到∠EAF=45°，构造“一线三等角”全等模型

图2

图3

图4

图5

评注抓住核心条件“45°”这个角，从多角度构造“一线三等角”模型是形成上述思路的关键．解法1运用“全等+平行线分线段成比例”，解法2、3、4运用“全等+相似三角形”，这些都是解决问题的常用方法，应引起足够的重视．

思路2 注意到∠EAF=45°，构造正方形中的“半角模型”

图6

图7

评注抓住核心条件“45°”这个角，由平时积累的解题经验，结合该矩形邻边的特定的关系——2倍长，自然联想到将长方形中的45°角转化为正方形中的“半角模型”，借助此模型的相关结论解决问题．由此可见，若眼中有“形”，手中有“数”，心中建“模”，则解法自然来．

思路3 注意到∠EAF=45°，构造“一线三等角”相似模型

图8

图9

评注抓住核心条件“45°”这个角，构造出“一线三等角”的相似三角形模型，不过这个基本图形需要平时深度研究，考生才能在紧张的考场上实现有效的迁移．此法也是十分常见的一种重要构造方法，一旦悟透，解决问题显得简洁、快捷．当然，此题也可分别延长DA、AD至点M、N，使得∠ANF=∠EMA=∠EAF=45°，用类似方法解决问题，具体过程留给有兴趣的读者思考．

思路4 运用割、凑，构造相似三角形

图10

图11

评注抓住核心条件“45°”这个角，构造出“一线三等角”的相似三角形模型．解法9侧重于割“45°”这个角构造相似三角形，解法10侧重于有“45°”这个角，再凑出两个45°角而得到相似三角形．当然这需要认真观察，化“无形”为“有形”，树立起“有模型找模型，无模型造模型”的解题意识，做到会善于变通、善于转化．

思路5 构造“A”型和 “8”字型的相似三角形

图12

评注抓住核心条件“45°”这个角，通过延长AF构造出等腰直角三角形，然后借助“8”字型(△ABE∽△GHE)和“A”型(△ABG∽△FCG)的相似三角形而获解．可以看出，通过“45°”这个角的中介作用，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，为寻求解题途径指明了方向．

思路6 用面积关系建立方程

图13

评注面积法在初中数学各模块的知识中都有所涉及，此题正是注意到图形的特殊性，利用面积的两种表示方法建立方程，使一道难题变得清晰、透明，令人拍案叫绝．有时面积法还可以解决网格中的锐角三角函数问题、求线段的长等问题．由此可见，面积法也是一种解决问题的通性、通法，应当予以重视．

思路7 运用旋转，构造共点双垂直

图14

评注当题目中出现45°或90°特殊角时，联想到“共点双垂直”模型，由此通过旋转可得等腰三角形，从而得到△EAF≌△HAF，再借助勾股定理建立方程，求解也就顺理成章了．由此可见，采用“旋转”策略，是通过对题目的深入分析，或联想，或转化，挖掘知识模块内蕴的思想方法，是一种经验的“喷薄”．让人不禁感叹，几何构造之神奇，“旋一旋”出精彩．

思路8 运用数形结合，建立直角坐标系

图15

评注解答此题的关键是采用数形结合的思想．若考生对题目的特殊性(如90°角)进行多观察、多思量，就能迸发出建立坐标系的解题思路．一旦找到了解题的切口，再采用旋转，结合“中点坐标公式”求出AF的解析式，用函数解决计算问题便会水到渠成，就能取得令人惊喜的效果．

思路9 运用平时积累的公式，构造基本图形求解

图16

这个结论，其实可借助图16的网格进行直观证明，此处不再赘述．基于此，我们可得到下列思路：

评注本解法是通过一个常见结论的中介作用，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，为寻求解题途径指明了方向，使问题的解法简单流畅、别具一格．由此可见，一些优秀学生通过自己的自学、吸收、内化，积累一些先进的“武器”，为自己擅长的方式构思或寻求解决问题的方法贮存能量，是一种经验的“喷薄”，做到该出手时就出手．

3 解法实践

亲爱的读者，你看了以上的几种解法，是不是产生了一种跃跃欲试的冲动，那你就动起笔来，思考、挑战一下两道变式题吧．

图17

变式1 如图17，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°，若CD=4，则△ABE的面积为( )

图18

变式2 如图18，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C(2，0)．设点P为线段OB的中点，连结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是．

聪明的读者，上面的两道变式题，你能运用哪些方法求解？一题多解，比较解法的优劣；多解一题，领略解法的真谛；多解归一，感悟数学的魅力．这就要我们在平时的教学中，在总结经验、掌握通式和通法的基础上，要多引导学生结合题目的特点一题多解，一题多变，一图多思，拓宽思路，帮助学生在变式训练中，发展思维的灵活性和发散性．“解一题，会一类，通一片”，让学生由此及彼，并感悟出同类问题的深层结构，使得学生下次再碰到类似问题时能快速找到切入点，顺利贯通思路，提升解题能力的同时，发展数学洞察力，训练思维的深度，让一题多解成就精彩，让课堂高效起来，让学生在考场中能有一种经验的“喷薄” ．