俞锦涛， 王金山

(陆军炮兵防空兵学院基础部，安徽 合肥 230031)

0 引言

决策在人们日常生活中发挥着非常重要的作用，针对某一目标进行优化选择是决策的一种常见形式。人作为决策的主体，因其自身认知能力的局限性和客观事物的复杂性，往往不能够在决策过程中做精确描述，而是以不确定信息形式表达出来。Zadeh提出的模糊集合[1]是一种很好的工具，在此基础上进一步发展出了直觉模糊集[2]和犹豫模糊集[3]，但是前者不能描述犹豫性，后者不能体现非隶属度，因而犹豫直觉模糊集[4]发展成为更加实用的工具，受到了众多学者的青睐。Zhou等[5]提出了一种犹豫直觉模糊信息下的偏好关系，在此基础上讨论了一种群决策方法；Peng等[6]讨论了犹豫直觉模糊集新的运算体系，并在此基础上给出了相应的集结算子和排序方法；Yang等[7]利用Choquet积分建立了犹豫直觉模糊语言信息的集结算子，并提出了属性互相关联时的线性分配方法；Faizi等[8]基于直觉模糊支持函数、风险函数和可信度函数，提出了一种基于犹豫直觉模糊语言信息的群决策排序方法。

另一方面，语言信息在决策表达中也发挥了重要作用。在现实决策中，人们往往更倾向于用自然语言、不确定语言或多粒度语言等定性信息来描述对决策对象的偏好[9]。心理学研究指出，人能有效区分7～9个等级，学者们在此基础上用语言术语集做了很多研究。Xu[10]将语言术语集从离散拓展到了连续，从而方便了语言术语间的运算；Xu还提出了不确定语言[11]的概念，并给出了相应的运算法则和比较方法；Pang等[12]提出了概率语言集，并用扩展的TOPSIS方法将其用于多属性群决策；Gou等[13]基于两种等价变换函数提出了语言术语集、犹豫模糊语言集、概率语言集的运算规则，弥补了传统运算规则的缺陷。

犹豫直觉模糊语言集[14]综合了上述描述决策信息的优点，既能描述决策者的心理偏好，也能表示隶属度、非隶属度和犹豫度。然而，语言术语集的下标在运算中，会出现不封闭的问题，比如在一个粒度为7的语言术语集中，会出现s4+s5=s9的情况，虽然在实际运算中通过加权不会出现这种情形，但是在逻辑上是有缺陷的。针对语言术语集运算不封闭的问题，本文基于Archimedean三角模，讨论犹豫直觉模糊语言信息下的封闭运算体系。首先介绍四种典型的满足封闭运算的Archimedean三角模：Algebra型、Einstein型、Hamacher型和Frank型；然后提出基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言集，给出了其得分函数、精确函数、排序方法、加权的算术平均和几何平均算子；并在此基础上提出一种群决策方法；最后以九甸峡水库运作方案选择为例，经过对比分析，说明本文方法的优越性和有效性。

1 基本概念

1.1 基于Archimedean三角模的代数运算体系

考虑基于Archimedean三角模的封闭代数运算体系，首先给出三角模的概念。

定义1[15]记区间I=[0,1]，若函数T:I×I→I满足：

(1)T(1,x)=x,x∈I，

(2)T(x,y)=T(y,x),x,y∈I，

(3)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),x,y,z∈I，

(4)若x≤z，则T(x,y)≤T(z,y),x,y,z∈I；则称函数T是I上的三角模。

若将(1)改成T(0,x)=x，并用S替换T，则称函数S是I上的三角余模。容易看出，三角模和三角余模满足对偶关系[15]。

文献[16]指出满足严格Archimedean性的三角模可以与实数的普通加法相互转化，即存在严格单调递减的算子φ:[0,1]→[0,∞)，φ(1)=0，使得

T(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))

(1)

根据对偶关系的性质，同样有

S(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))

(2)

其中，φ(x)=φ(1-x)。常见的Archimedean三角模和三角余模如表1所示。

表1 常见的Archimedean三角模和三角余模

根据式(1)、(2)描述的性质，文献[17,18]提出了基于Archimedean三角模的模糊信息代数运算体系，并且依旧满足封闭性。

定义2[17,18]设x,y∈[0,1]，λ≥0为常数，则基于Archimedean三角模的运算规则定义为：

(1)x⊕y=S(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))；

(2)x⊗y=T(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))；

(3)λx=φ-1(λφ(x))；

(4)xλ=φ-1(λφ(x))。

1.2 犹豫直觉模糊语言集

A={|x∈X}

(3)

关于犹豫直觉模糊语言集的运算规则可以参考文献[14]。

2 基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言集及其集结算子

(4)

(5)

(6)

(7)

特别地，当权重都相等时，ATNHILWA算子退化为基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言变量的平均(ATNHILA)算子，表示为

(8)

基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言变量的加权几何平均(ATNHILWG)算子可表示为

(9)

特别地，当权重都相等时，ATNHILWG算子退化为基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言变量时的几何平均(ATNHILG)算子，表示为

(10)

定理1基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言变量的加权算术平均算子集结结果仍为基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言变量，且可以表示为

(11)

基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言变量的加权几何平均算子集结结果仍为基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言变量，且可以表示为

(12)

证明只需证前半部分语言算子，采用数学归纳法，对于ATNHILWA算子，当n=1时，式(11)显然成立。当n=2时，有

从而式(11)成立。

假设n=k≥2(k∈N+)时式(11)成立，当n=k+1时，有

从而式(11)成立。

同理，对于ATNHILWG算子，可证式(12)成立。

综上可知，定理1成立。

对于本节给出的集结算子，实际计算中采用不同类型的Archimedean三角模可能会得到不同的决策结果，限于篇幅，本文只对最简单的Algebra型进行分析。

3 基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言信息的群决策方法

(13)

Step2利用式(5)、(6)计算决策者k对方案Xi评价信息的得分函数和精确函数，再利用决策者权重加权得到方案Xi的得分函数和精确函数，如下：

(14)

(15)

Step3利用定义8给出的排序规则对所有的方案进行排序，得到最优决策结果。

4 算例分析

下面以改编自九甸峡水库运作方案选择[21,22]的案例为背景，阐述本文方法的实现过程，并与现有方法进行对比分析，以显示其优势。

九甸峡水库的设计有多种用途，如发电、灌溉、工农业用水、居民用水和环境用水等。根据对水量分配的不同要求，提出四种水库运作方案X1、X2、X3和X4。

X1:使植物产量最大，保证洮河流域用水量充足，多的用于社会和经济供给；

X2:使植物产量最大，保证洮河流域用水量充足，多的用于社会和经济供给，减少生态系统供给；

X3:使植物产量最大，保证洮河流域用水量充足，多的用于社会和经济供给，生态环境总供给的90%用于低水期冲沙；

X4:使植物产量最大，保证洮河流域用水量充足，多的用于社会和经济供给，生态环境总供给的50%用于低水期冲沙。

为了选出最优方案，当地政府委托了三家评价机构相互独立地对四个方案进行比较评估，机构的权重向量为v=(0.41,0.34,0.25)。评价结果以犹豫直觉模糊语言集的形式给出，其中语言术语集为S={s0:极差，s1:差，s3:对等,s4:好，s5:较好，s6:极好}，最终给出的偏好信息分别为A1、A2、A3。下面给出其上三角矩阵关系，下三角矩阵利用逆算子即可知。

本文决策方法步骤如下：

Step1将偏好信息转化为基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言集后，集结不同决策者对每个方案偏好信息，具体公式为

Step2计算方案Xi的得分函数和精确函数，最后结果为

E1=0.4083,E2=0.4134,E3=0.3169,E4=0.4326

H1=0.5686,H2=0.5307,H3=0.4031,H4=0.5718

Step3利用定义8得到的方案排序为X4≻X2≻X1≻X3，从而最优方案为X4。

以下将使用直觉梯形模糊数来集结偏好信息的方法与本文的方法进行比较。为了保持一致，决策者的权重也为v=(0.41,0.34,0.25)，具体决策步骤如下：

(16)

(17)

Step2利用文献[23]的集结算子计算不同决策者对方案的偏好信息，公式为

(18)

Step3根据决策者的权重计算方案总的评价结果，并进行排序，其中集结算子为

(19)

所有方案的最后评价信息为

I1=<[0.4174,0.4943,0.5713,0.6482](1,0)>

I2=<[0.4195,0.4964,0.5734,0.6503](1,0)>

I3=<[0.2749,0.3518,0.4287,0.5056](1,0)>

I4=<[0.4267,0.5036,0.5805,0.6574](1,0)>

容易得到方案排序为X4≻X2≻X1≻X3，最优方案为X4。

比较排序结果可知两种方法得到的最优方案相同，并且方案的排列顺序也相同。本文的方法能减少将评价信息转化为直觉梯形模糊数造成的信息损失，并且不需要用平均直觉梯形模糊集结算子来合并决策者的偏好，而是用基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言集相对直观地表达偏好信息。另外，本文的方法还保证了语言术语下标运算的封闭性。

5 结论

本文通过建立基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言集，解决了语言术语下标运算不封闭的问题；同时给出了基于Archimedean三角模的犹豫直觉模糊语言集的得分函数、精确函数、排序规则、加权算术平均和几何平均算子。将本文内容拓展到犹豫直觉模糊不确定语言以及多粒度语言的情形是进一步研究的方向。