张元康 李静

摘 要：在高等代数中已然对域的概念有了初步介绍，域即是对加、减、乘、除四则运算全部封闭的集合，这仅是一种表面定义，本文从更深一层次对域的概念进行了更加详细的界定，从而让读者能够对域的概念有深入了解，本文另外也对扩域的概念进行了阐述，并深度剖析相关扩域典型问题以加深读者对域以及扩域的理解与掌握。

关键词：扩域;代数元;极小多项式;主理想

中图分类号：O13 文献标识码：C

域和扩域的概念皆为高等数学中比较抽象难懂的概念，较之于初等数学中的一些简单数学知识，域和扩域的概念才算涉及到数学界真正的前沿，但是由于数域的定义未免太过于广泛，所以我们在高等数学中很少用到有关数域的定义，倒是数域的一些子集例如有理数域，复数域，实数域和代数数域反倒经常被提及或使用.而扩域指的是在数域的基础上，通过某些特别规定的法则所构建出来的一种新的域，即称之为扩域.例如在域的基础上添加单个元素所构成的域即称为单扩域。下面即先介绍域和扩域的定义，之后再在实例中展开论述。

1 域的定义

在抽象代数中，交换除环即为域，在域中元素之间是可交换的，而且每个元素都存在可逆元，当然域首先得是一个环。

2 扩域的定义

一个域A是域B的扩域的充要条件是域B是域A的子域。

众所周知，实数域完全是在有理数域的基础上通过某种方式建立起来的，而复数域是在实数域的基础上通过某种方式建立起来的，所以我们发现探讨域的方法就是先从一个既定的域A出发，再在域A的基础上构建我们想要的域B。……