谈鑫杰 李丽洁 覃凤梅 景瑶昊

摘 要：本文通过构造李雅普诺夫函数，借助最优化理论，讨论一种四维超混沌Lorenz型系统的全局渐近稳定性、全局指数吸引集、正向不变集等问题，并运用数值模拟验证结果。

关键词：全局渐近稳定;全局指数吸引集;正向不变集;超混沌Lorenz型系统

1 绪论

上世纪80年代末，R.Mhatews提出混沌加密思想后，混沌序列加密方法迅速成为现代密码学的研究热点，[1]现在其应用前景最广领域为图像大数据加密处理.近年来，混沌控制与同步成为混沌保密通讯实用化研究的热点，我国也在《国家中长期科学和技术发展纲要（2006-2020）》将其列为重点研究领域.

自Rossler首次报道超混沌后，其在加密处理、安全通讯、流体混合、非线性电路、生物网络等领域相继显现巨大应用潜力[2-3].在混沌加密方面，考虑到高维混沌系统在大数据加密方面生成超混沌密钥的时间开销较大，故建立更为复杂的混沌系统模型，也就成为了提高大数据加密性能的思路之一。[4-5]

2014年Yuming Chen等在文献[2]中研究了一类四维超混沌Lorenz型系统：

x·=a（y-x）， y·=bx-cy-xz+w， z·=-dz+xy， w·=-ky-rw， （1）

其中 x，y，z，w 是系统状态变量， a，b，c，d，k，r 是实参数。[2]

当 a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2 时，取初始值 （3，5，30，10） ，则李雅普诺夫指数分别为 λ LE 1=0.1740，λ LE2 =0.1314，λ LE3 =0.0000，λ LE4 =-15.6059 ，这意味着系统（1）处于超混沌状态，该系统超混沌吸引子MATLAB模拟如图1所示。图像与Lorenz系统吸引子图像类似，因此称其为Lorenz型四维超混沌系统。[2，6]

文献[2]研究分析了超混沌系统（1）平衡点的稳定性，分岔和Hopf分岔等局部动力学行为，以及同宿轨道和异宿轨道的存在性。[2]

本文将研究超混沌系统（1）的全局渐近稳定性、全局指数吸引集、正向不变集等问题，并运用MATLAB R2017a进行数值模拟仿真以验证结果的准确性。……