(1.湘潭大学 湖南 湘潭 411105；2.中北大学 山西 太原 030051)

近年来，随着微电子技术和无线技术的发展，手持型电子设备和无线传感器进入了小型、低功耗化的时代。通常情况下，这些设备都是依靠传统的电池来提供能量，如镍氢电池、锂聚合物电池等。但是，传统电池存在的缺点在于，一是相对于微型传感器其体积仍然较大，限制了微传感器的进一步小型化；二是供能寿命有限，使用一段时间后需要更换或者充电，相对于放置在恶劣环境或者遥远地区的无线传感器而言，这是个很严重的制约条件。因此，人们希望制造出一种可以吸收周围环境能量的器件，为电池充电甚至取代传统电池，这种器件就是能量采集器。如何将环境中的废弃机械振动能转换为电能，是亟待研究的科学问题，所以振动能量采集成为微能源研究领域的一个重要方向，振动能量采集为低耗设备的供能提供了新的可能性。

传统振动能量采集装置主要基于线性振动理论，仅在结构的固有频率附近有较大功率输出。为了克服线性系统这一缺陷，研究者开始引入非线性因素来拓宽它的工作频带，近年来双稳态以及多稳态装置能够利用多势能阱特点提高能量采集效果。Masana研究了轴向载荷作用下的压电梁模型，当轴向载荷超过临界载荷时候，屈曲梁呈现双势能阱。通过和单势能阱系统比较，双势能阱系统在大幅低频激励下具有良好的能量采集效果。孙舒建立磁力耦合双稳态能量采集动力学模型，给出了磁力表达式，数值模拟发现双稳态系统在低频激励下发生大幅运动。陈仲生利用随机共振机理提高了双稳态悬臂梁压电振子在宽带低频激励下的采集效果。

本文的研究对象是轴向载荷作用下的压电梁，主要工作是推导在考虑重力因素的影响下，轴向载荷作用下压电梁能量采集系统的动力学控制方程，用Matlab对重力影响作用下压电梁能量采集系统的非线性振动进行了模拟，并对模拟所得结果进行详尽的分析和讨论。

一、离考虑重力参数影响的能量采集系统的同宿分岔

(一)模型建立

图1(a)为轴向载荷作用下的压电梁，当载荷大小超过临界载荷时，梁将呈现双稳态，形成双稳态振动能量采集系统。针对双稳态特点，将其简化为斜弹簧支撑的压电振子。考虑重力因素的影响，压电能量采集系统的动力学控制方程可以写成：

图1 (a)受压压电梁模型;(b)压电耦合振子模型

(1-1)

其中:M为压电振子的质量，X表示质量块的相对位移，K为等效刚度，c为阻尼系数，L表示弹簧的原长，g为重力加速度常数，l表示振子质心到支点水平距离，u表示外界的振动源位移，Θ机电耦合系数，C表示等效电容。V表示通过电阻的电压。

(二)数值模拟

为了验证理论分析的结果，图2为ρ=0.1;α=1/2;κ=0.5;θ=0.1;ξ=0.1;λ=0.01;ω=1.4。时候，位移关于基础激励幅值的分岔图。图2(a)中，在小于混沌阈值(图中红色虚线)处没有混沌响应出现，当f 从 0变化到0.38时，系统经历周期，倍化周期，以及混沌，当进一步增大激励强度，系统通过逆倍化周期分析实现混沌运动到周期运动的变化。

图2 (a)ρ=0.1时的分岔图和(b)Lyapunov指数

图3 ρ=0.1时相平面图功率密度图(a)f=0.32;(b) f=0.34;(c)f=0.35

图3分别为ρ=0.1，f=0.32，f=0.34和f=0.35时系统的相平面、Poincare截面图以及功率谱密度图，当激励幅值小于混沌阈值时候，系统发生小幅的阱内周期运动，此时各阶响应频率成分较低。当激励强度增大，系统由于获得输入能量发生同宿分岔出现混沌现象，此时的Lyapunov指数大于0，频域响应成宽峰分布。当进一步增大激励的强度，混沌现象消失并最终出现大幅的周期运动。

二、基于谐波平衡法的非线性能量采集系统的动力学分析

现有分析方法大多采用数值仿真，不便于分析系统的频率响应和各种因素对输出功率的影响。为此，采用谐波平衡分析法。同时有两种模拟参数如下：

1)ρ=0，α1=0.97，α2=0.6，α3=-4，θ=0.1，β=0.1，λ=0.01，

2)ρ=0.5，α1=-0.32，α2=3.97，α3=-4，θ=0.1，β=0.1，λ=0.01。

模拟显示，系统呈现硬的非线性特性。

2)根据Routh-Hurwitz判据得到解的稳定性。实线表示系统的稳定解，而虚线代表不稳定解。

3)随着外激励f的增加，共振幅值和发生跳跃的频率增加，并且多解共存区域和频带也逐渐增加。

4)当重力参数增加时，其共振幅值逐渐减小，共振峰值对应的频率逐渐减小，多解共存的区域和频带逐渐减小。

(a)ρ=0

(b)ρ=0.5

(c)ρ=0和 ρ=0.5的对比图

图4(a)和图4(b)分别表示 ρ=0和 ρ=0.5时不同激励下的频率与电压的关系曲线。通过对图进行分析，可得以下非线性动力学结论：

1)由图可知，随着激励频率的增加，输出的电压增大，多解共存的区域和频带逐渐增大。

2)根据图4(a)和图4(b)可知，当重力参数增加时，其输出的电压减小，共振峰值对应的频率逐渐减小，多解共存的区域和频带逐渐减小。

3)因此，不考虑其重力参数的影响，可以拓宽其工作频带，增加能量的输出效率。

(a)ρ=0

(b)ρ=0.5

图5(a)和图5(b)分别表示 ρ=0和 ρ=0.5时不同频率下的激励与幅值的关系曲线。从图中可以得到以下非线性动力学结论：

1)由图5(a)可知，当ω=0.6时，激励小于0.08时，系统出现单值低能解的区域；激励大于0.32时，系统也出现单值高能解的区域；系统在激励为0.08到0.32之间出现多解共存的现象。

2)当ω=0.8时，系统在激励为0.1到0.48之间出现多解共存的现象。

3)当ω=1.0时，系统在激励为0.2到0.63之间出现多解共存的现象。因此，当频率逐渐增大时，出现多解共存的区域也逐渐增大。

4)当ω=0.6时，系统只有一个单值低能解；当ω=0.8时，系统在激励为0.04到0.05之间出现多解共存的现象。当ω=1.0时，系统在激励为0.1到0.15之间出现多解共存的现象。

三、总结

本文基于轴向载荷作用下的压电梁，当载荷大小超过临界载荷时，梁将呈现双稳态，形成双稳态振动能量采集系统。针对双稳态特点，将其简化为斜弹簧支撑的压电振子。考虑重力因素的影响，得到带有非对称势能阱的压电能量采集系统的动力学控制方程。并利用Melnikov函数法和谐波平衡法对系统非线性动力学进行了分析，得到如下结论：

(1)重力参数和阻尼一样显著影响系统发生同宿分岔的阈值，随着重力参数以及阻尼的增大，在相同频率下发生同宿分岔所需要的激励强度也随之增加。

(2)随着激励的增大，系统经历周期，倍化周期，以及混沌，当进一步增大激励强度，系统通过逆倍化周期分析实现混沌运动到周期运动的变化。

(3)当激励幅值小于混沌阈值时候，系统发生小幅的阱内周期运动，此时各阶响应频率成分较低。当激励强度增大，系统由于获得输入能量发生同宿分岔出现混沌现象，此时的Lyapunov指数大于0，频域响应成宽峰分布。当进一步增大激励的强度，混沌现象消失并最终出现大幅的周期运动。

(4)随着外激励f的增加，共振幅值和发生跳跃的频率增加，并且多解共存区域和频带也逐渐增加。随着重力参数增加时，其共振幅值逐渐减小，共振峰值对应的频率逐渐减小，多解共存的区域和频带逐渐减小。

(5)当激励幅值一定时，在低频范围内随着激励频率的增加，输出的电压增大，多解共存的区域和频带逐渐增大。当重力参数增加时，其输出的稳态电压逐渐减小，同时共振峰值对应的频率、多解共存的区域和频带都逐渐减小。因此，考虑实际当中重力参数的影响，可能减小其工作频带，因此需要额外的能量输入才会达到理想的能量输出效率。