梁小珍，卫雪梅

（广东工业大学 应用数学学院，广东 广州 510520）

肿瘤已经成为危害人类健康的第二大疾病，其发病的一个重要原因是正常细胞代谢方式的改变.从20世纪20年代起，人们对肿瘤细胞的代谢方式做了大量研究后提出代谢共生这一概念且目前已经在多种肿瘤中证实了代谢共生的存在[1]. 另外，人们研究发现代谢共生对肿瘤血管形成以及肿瘤细胞的凋亡等均有重要的作用，与肿瘤治疗抵抗以及不良预后关系密切，在肿瘤治疗上取得很多新成果并面临很多新挑战[1-5]，因此深入研究肿瘤代谢共生是很有必要的.

Mendoza-Juez B和McGillen J B等[6-7]学者建立了一系列关于细胞代谢共生的数学模型来研究肿瘤异质性等存活问题. 2017年Lee M等[8]在研究异种结肠癌的实验过程中观察到了异种结肠肿瘤的异质性模型，进而利用反应扩散方程系统模拟了Wnt(wingless/integrate)信号、Wnt信号抑制剂、营养物质、细胞底物以及不同代谢细胞类型的种群动态并建立了结肠癌细胞代谢数学模型，其模型首次描述了肿瘤异质性的模式以及Wnt信号对糖酵解代谢的调控作用. 根据肿瘤细胞的不可压缩性，本文不妨假设此模型中氧化磷酸化细胞、糖酵解细胞和死亡细胞这三者细胞密度之和为1. 即考虑如下模型：

本模型包含不连续项，借鉴参考文献 [11-17]中对含有间断非线性项的偏微分方程组的处理方法，本文拟对该模型进行严格的数学分析. 根据生物学和医学原理，本文做出以下假设：

本文的主要结论如下：

1 预备引理

下面将介绍一些引理, 首先引入一些记号.

其中Cp(T)是一个依赖于p,T, ∥a∥∞, ∥b∥∞的常数, 且对任意的有界集T,Cp(T)是有界的.

2 逼近问题解的存在性

引理2 对∀T>0，问题(16)～(30)存在唯一解(P,Q,W,V,N)=(Pε,Qε,Wε,Vε,Nε).

记Ui=(Pi,Qi,Wi,Vi,Ni)(i=1,2)，且定义XT中的度量空间d为

易知度量空间(XT,d)是一个完备的度量空间.

其中，

由解得最大模估计，有

由(50)和(51)可以得到

故F是连续映射.

综上所述，由schauder不动点定理可得映射F在E上存在不动点，因此逼近问题(15)～(30)在XT上存在解，再由T的任意性得到其整体解的存在性，故引理2得证.

3 原问题解的存在性

引理3 对∀T>0，问题(1)～(15)存在弱解(P,Q,W,V,N)=(Pε,Qε,Wε,Vε,Nε).

本文断定

又由式(28)，得

把式(53)代入式(52)，易得

引理3得证.

由引理3以及T的任意性，定理1得证.