董文彬

摘   要：文章尝试跳出教材的编排顺序，将小学数学中的运算、度量两大核心内容联系起来，在厘清认识的前提下，基于对“单位”的认识，系统论述了小学阶段数学学习中如何从度量的角度整体把握数的运算教学，阐明度量的基本思想在数的运算教学中的价值体现，以及对实际教学的思考与启示，以期能够从整体上理解数学课程理念、掌握数学课程目标、认识数学课程内容、设计教学内容主线，最终帮助教师从整体上把握小学数学课程教学。

关键词：度量;数的运算;单位运作;整体把握;教学研究

中图分类号：G623.5      文献标识码：A      文章编号：1671-0568（2019）22-0014-04

在小学数学课程中，有些学习内容因为承载着数学中永恒不变的核心本质思想而一直备受关注，比如运算、度量等。但长期以来，不少教师因为惯性的思维认知将这些核心内容的教学割裂开来，认为运算就是运算，更多的是“数与代数”领域的内容，度量就是度量，更多的是“图形与几何”领域的内容。其实，这些看似“天各一方”的核心内容之间是有天然联系的，有时我们要跳出教材的编排顺序，跳出教与学的方式，去思考这些核心内容之间存在的本质联系，打通这些相通的必然的联系，才能从整体上理解数学课程理念、掌握数学课程目标、认识数学课程内容、设计教学内容主线，最终从整体上把握小学数学课程教学。

一、厘清认识

在从度量的视角整体审视运算教学的前期，我们主要思考以下两个问题：

1. 什么是度量？一提到“度量”，我们立刻会想到有关它的很多核心本质与永恒不变的东西，如两个核心要素（度量单位、单位的个数即度量值）、三条基本性质（运动不变性、合同性、有限可加性）、度量的本质是比，等等。度量总体上分为可直接度量和不可直接度量两部分，可直接度量包含工具度量、公式度量和转化度量。货币单位、质量单位、时间单位、长度单位、面积单位和体积单位等这些基本的度量单位的认识和建立可通过工具度量，角度、周长、面积和体积等这些度量值的获取可通过公式计算来度量，这是度量教学的核心部分，多集中在“图形与几何”“数与代数”两个领域内（主要在前者）。有一些度量则不能通过工具或公式计算获取，而需把不规则的物体转化为规则的物体来度量，如用“水测法”度量一个土豆的体积，在等量替换中保证两个量的守恒，这样的度量我们可称之为转化度量，因一般通过实验进行，暂可纳入“综合与实践”领域。而有一些量是不可直接度量的，需要通过两个可以直接度量的量的比值来间接运作刻画，比如速度可通过路程与时间的比值来刻画，密度可通过质量与体积的比值来刻画等。

2. 度量与运算教学共通的核心主线是什么？吴正宪老师说过，小学数学中关于“单位”这件事无论怎么重视都不为过。度量内容的教学深刻体现了这一点，度量教学的核心是让学生经历单位的产生和发展过程、单位的累加过程（数出度量单位的个数），建立和形成单位的观念，积累度量的学习活动经验。而在数与运算教学中，建立计数单位的概念，感悟数及数的运算就是单位个数的运作变换过程（累加或递减）是教学的关键。由此可见，无论是度量教学还是运算教学，其核心的东西都是“单位”，其本质都是“单位的运作和转换”，度量中的实际量（包含生活中的量、物理量、几何量）的单位，运算中的计数单位，“单位”成为核心词贯穿于这两大核心內容教学的主线。如此，我们能否从度量的角度来帮助学生认识数与运算呢？能否从度量方面帮助学生体会“单位化”的思想，进一步理解数的运算的核心本质呢？

二、度量的基本思想在数的运算教学中的价值体现

数的运算主要是指加、减、乘、除四个维度的数学运算，同时又可划分为整数、小数和分数三种不同数类的运算。那么，度量的思想在数的运算中是如何体现的呢？

1. 从度量的角度认识加减法。

（1）整数加减法运算。如“8+6”，如图1所示，在这条简单的数尺上，数与格（点）一一对应，往右表示累加，得到“8+6”唯一结果的操作就是基于这种“一一对应”，数出计数单位的过程，从8开始，以“1”为单位，连续累加6次，就得到14这个结果。这个运算的过程就是度量单位（计数单位）累加的过程。同样，运算“8+6”，如图2，10格为1档，从8开始，以“1”为单位，先累加2次到“10”，遇“10”停顿，再累加4次，进入下一档，孕伏“满十进一”，产生新的度量单位（计数单位）“十”。

照此，借助于数轴并沿着数轴往右，可以1个1个地数，也可以10个10个地数，还可以100个100个地数……在这样不断地以计数单位累加中，就会产生“一”“十”“百”……更大的新的计数单位，在度量单位的不断累加运算中，方便和满足了数量级扩展后大数加减法的开展。

因为减法与加法是互为逆运算的关系，因此从度量的角度认识减法就不难理解。如“239-118”，如图3所示，在这条数线上，往左表示“递减”，从239开始，先以“百”为单位递减1次，再以“十”为单位递减1次，再以“一”为单位递减8次，即得到“239-118”的结果（度量值）121。在运算的过程中，先减几个百，再减几个十、几个一，这正是一种度量思想的体现，从计数单位运作变换的角度帮助学生直观理解数的内部结构，进而理解运算的意义。

（2）小数加减法运算。由于小数和整数运算的核心本质是天然相通的，都是十进位值制，因此，从度量的角度理解小数加减法运算顺理成章。

从图4不难看出，无论是元角分单位、方格纸直观模型，还是竖式的不同运算表征方式，其运算的本质都是相同计数单位（度量单位）的累加或递减（数出度量单位的个数）的运作过程，只不过从整数到小数，度量单位、数量级向微观扩充。这也说明，从度量的角度去认识和理解加减法，小数加减法与整数加减法是一脉相承的。

（3）分数加减法运算。分数加减法的意义同整数、小数加减法的意义是一样的，分数加减法、特别是同分母分数加减法的运算也是相同度量单位（分数单位）的累加或减少，即相同度量单位的运作，这里不再赘述，但异分母分数加减法需要特殊说明。

异分母分数加减法是小学数学中加减法运算的高级阶段，它与整数、小数加减法运算有异也有同。“同”体现在：只有度量单位（计数单位或分数单位）相同后，度量单位的个数才能运作（累加或减少）;“异”体现在：整数、小数因十进位值制都有明确的度量单位，而对于两个异分母分数来说，它们的度量单位取决于它们各自的分母，它们在进行加减法运算时首先需要一个对二者来说都能获取度量值的一个新的度量单位，即新的分数单位的产生。因此，通分的目的也就非常明确了，实际上就是在寻找一个新的分数单位，这个新的单位就像一把通用的“尺子”，以此为“标准”来度量两个异分母分数，把度量的结果进行运作（累加或减少），就是两个异分母分数的和或差。

2. 从度量的角度认识乘除法。

（1）整数乘除法。如图5，这是乘法中“几个几”意义的运算内容。结合数尺模型与算式表征，解决“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4个3是多少”。其中的4表示跳了几次，3表示每次跳几个，可以看作是以“3”为单位，度量了4次的结果。

如图6，这是除法中“包含除”意义的运算内容。解决“20元可以买几辆玩具车”就是求“20里面有几个5”。其运算的过程，即在数线上以20作为起点，按照一定的“步伐”回到原点的过程。这个过程可看作以“5”为单位去度量数20，正好度量数了4次。说到底，其本质还是对度量单位的运作，即对计数单位的处理。

（2）小数乘除法。小数乘法运算包括小数乘整数和小数乘小数。例如，运算“0.2×4”，以“0.2”为单位（图7中2个小条）去度量并数出4次，0.2连续累加4次，算式表征为0.2×4=0.2+0.2+0.2+0.2，即获得运算的结果0.8。同样借助方格纸运算0.02×4，可以“0.02”为单位（图8中2个小块）去度量并数出4次，0.02连续累加4次，算式表征为0.02×4=0.02+0.02+0.02+0.02，即获得运算的结果0.08。

由此可见，小数乘整数的运算其本质还是小数计数单位的累加，即度量单位的运作。而小数乘小数的运算遇到了与前述异分母分数加减法类似的问题，即寻找新的度量标准，产生新的计数单位。如运算“0.3×0.2”，显然用0.1作单位去度量已行不通，这就需要寻找一个新的度量单位，而这个单位是相对隐性化的，可借助于操作方格纸直观模型来实现。如图9所示，在方格纸上分一分，画一画，先表示出0.3，即把“1”平均分成10份，取其中3份，0.2×0.3就是0.3的2/10，即把0.3再平均分成10份，取其中的2份。这时，新的计数单位0.01就产生了，用这个新的计数单位0.01作为标准去度量运算的结果，需要数6次，算式表征为0.01×6=0.06。由此可见，从度量的角度看，小数乘小数的运算核心，即新的更小的度量单位的产生、数度量单位的个数。说到底，度量单位的转换与运作依然是小数乘小数运算的本质。

如何从度量的角度理解小数除法的运算呢？如“买3袋牛奶花了10.2元，每袋牛奶多少元？”如图10，借助人民币实物模型先表示出10.2，然后动手分，边分边用式子记录分的过程。在分的过程中会遇到问题：先分完9个1元，剩下1个1元和2角没法直接平均分成3份怎么办？所以把“元”转化成“角”之后再分（1元=10角，10角+2角=12角，12÷3=4角），最后獲得运算结果（3元+4角=3.4元）。同样，如图11，借助方格纸模型表示出10.2，先分完9个1（9÷3=3），剩下1个1和2个0.1没法直接平均分成3份，所以把“1”转化成“0.1”之后再分（1=10个0.1，10个0.1+2个0.1=12个0.1，“12个0.1”÷3=4个0.1），最后获得运算结果（3+4个0.1=3.4）。

通过以上两个过程，从实物模型走向直观模型，从“计量”走向“计数”，体会小数除法与整数除法在算理方面的内在本质联系，即都是转化平均分计数单位的过程，当高一级的单位不够分时，需转化为低一级的计数单位继续分，最终获得运算结果。不难看出，小数除法的本质从度量的角度看，是计数单位的“逐级细分”过程，即新的更小的度量单位的产生，数度量单位的个数，即平均分的份数——除数。

（3）分数乘除法。分数乘法包括分数乘整数和分数乘分数，分数乘整数的运算与小数乘小数的运算意义相同，本质相通，只不过这里的度量单位由计数单位变成了分数单位。同样，分数乘分数的运算核心也是寻找新的度量单位（新的分数单位）的产生，这里均不再赘述。

三、从度量的角度整体把握数的运算教学的意义

1. 从度量到运算，对数学核心思想承袭的深度重视。从度量到运算，“单位”与“单位的个数即度量值”是贯穿两大内容共通的核心要素和教学主线。可以说，虽然领域不同，但运算教学是对度量教学中“度量思想”的深度承袭。从度量的角度认识数与运算，不仅是对数与运算意义本质的深度认知与理解，更是对度量思想的深度再认识。从度量的角度认识数与运算，就要紧紧抓住“单位”这个核心知识，形成“牵一发而动全身”的效果，才能从整体上把握数学学科中最本质的知识和问题，把握小学数学课程核心内容的教学。

2. 从抽象到直观，对几何直观模型选用的不可或缺。在数与运算教学中，建立计数单位的概念，感悟数及数的运算就是单位个数的运作变换过程（累加或递减）是教学的关键。而“计数单位”的数学概念是抽象的，“单位个数的运作”的数学过程更是抽象的，我们需要帮助學生找到适合的理解方式，变抽象为直观。因此，从度量的角度整体把握数与运算的教学，自始至终离不开几何直观模型的支撑。小棒、计数器、小方块、数线（数尺、数轴）、方格纸、点子图等都是小学阶段重要的几何直观模型，它们能将抽象的数与运算变得简明、直观、可操作，但在实际教学中需适时、适当选用。

3. 从计量走向计数，对数与运算意义的本质回归。从度量的角度认识数与运算是深度学习的一种价值体现，其本质既是对计数单位、数位、十进位值制、整数、小数、分数等核心概念的认识，又是对加、减、乘、除四则运算意义的丰富认识与理解，而计数单位（分数中有分数单位）、十进位值制等核心概念恰恰是理解数与运算意义及算理最核心的内容，而从度量的角度去认识数与运算正是对数与运算意义的本质回归。在实际教学中，因数与运算的概念的高度抽象性，所以除了几何直观模型的必要支撑外，还应帮助学生在解决简单的实际问题中从计量走向计数，让他们更深层次地从度量的角度认识和理解数与运算的学习。